广东省惠州市2025届高三下学期数学模拟考试试题（4月）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则（????）
A． B． C． D．
3．已知单位向量满足，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）
A．9种 B．12种 C．15种 D．18种
6．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（????）
A．平面平面 B．
C． D．平面
7．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（????）
A． B．
C．函数的周期为2 D．
8．已知，均为锐角，且，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（????）
A．为偶函数 B．
C．无零点 D．在上单调递减
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上
11．设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（）
A．若，则
B．若，则随着n的增大而增大
C．若，则的最小值为1
D．若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在锐角中，则的值等于．
13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为．
14．已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
16．体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
18．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
(1)证明：；
(2)若．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．
19．已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
(1)若椭圆C的离心率是，求b的值；
(2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；
(3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
答案
1．【正确答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选C.
2．【正确答案】B
【详解】由，
可得：，
故选B
3．【正确答案】C
【详解】设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选C.
4．【正确答案】D
【详解】因为，
所以.
故选D.
5．【正确答案】D
【详解】运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法；
若甲入选，则有（种）安排方法，
所以共有（种）不同的安排方法．
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，由分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A选项正确；
对于B选项，为下底面的中心，故为的中点，
因为为所在棱的中点，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，由B选项知，则有，
令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，
所以，不满足，故C选项错误