2025届四川省高三下学期第三次模拟考试数学试题
（三模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知向量．若，则的值为（????）
A．10 B．6 C．3 D．
3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）
A．25 B．30 C．35 D．40
4．已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（????）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题不正确的是（????）
A．，，则
B．，直线，，则
C．，则
D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（????）
A． B． C． D．
7．已知是定义在的奇函数，且．若，则（????）
A． B．0 C．2 D．4
8．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（????）
A．的最小正周期为36
B．
C．为偶函数
D．在上共有5个极值点
10．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（????）
A．平面 B．该石凳的体积为
C．，，，四点共面 D．点到平面的距离为
11．已知数列满足，，给出下列结论正确的是（????）
A．存在，使得为常数列
B．对任意的，为递增数列
C．对任意的，既不是等差数列也不是等比数列
D．对于任意的，都有
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则.
13．在的展开式中，的系数为80，则实数的值为.
14．设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为．已知．
(1)求角：
(2)若，求的面积．
16．如图，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点．
(1)求证：：
(2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
17．如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.
积分
0
100
200
(1)求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；
(2)求随机变量的分布列及数学期望.
18．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19．数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
(1)分别求函数和的值域；
(2)若，求函数的值；
(3)若数列满足：是数列的前项和，求的值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】，，故，故选B.
2．【正确答案】A
【详解】由题设，则，可得.
故选A.
3．【正确答案】B
【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是，
显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.
故选B.
4．【正确答案】A
【详解】的渐近线方程为，
当的渐近线互相垂直时，则，故，因此离心率为,
故“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的充要条件，
故选A.
5．【正确答案】D
【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为，
对于A：由，，可得：，
所以，所以，正确；
对于B：，可得，
由，可得，
所以，又，所以，正确；
对于C：由
可得：，且，且不共线，
所以，所以，正确；
对于D：不知和平面的位置关系，显然无法判断，错误；
故选D.
6．【正确答案】B
【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，
所以圆半径，
所以，
因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，
所以，
所以
.
故选B.
7．【正确答案】C
【详解】因为，可得，
可知函数的一个周期为4，
又因为是定义在的奇函数，则，
则，即，
令，可得；
令，可得，即，
则，
所以.
故选C.
8．【正确答案