2025届湖北省武汉市高三下学期4月联考数学模拟试题
（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（）
A．， B． C． D．
2．数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
4．随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（）
???评委编号模型名称
1
2
3
4
5
6
甲
7.0
9.3
8.3
9.2
8.9
8.9
乙
8.1
9.1
8.5
8.6
8.7
8.6
A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差
5．若，则的值为（）
A． B． C． D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（）
A． B．1 C． D．
7．已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）
A．1 B． C．2 D．3
8．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
二、多选题（本大题共3小题）
9．若复数，则（）
A．
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数满足，则的最大值为
10．已知数列满足，的前n项和为，则（）
A． B．数列是等比数列
C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为
11．已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（）
A．曲线C与直线恰有四个公共点
B．曲线C与直线相切
C．是关于的函数
D．是关于的函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．若双曲线的离心率为2，则的值为．
13．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，）
14．在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足．
(1)求证：平面；
(2)求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值．
16．已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
17．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1～8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行．
(1)求五张字母牌互不相邻的概率；
(2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率；
(3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示）
18．已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．
19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．
????
(1)求与的标准方程；
(2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）
(3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
答案
1．【正确答案】C
【详解】由，可得，解得，
所以，所以或，
所以或.
故选C.
2．【正确答案】D
【详解】令，因为，所以解得，
所以数列的前3项为负，从第4项起为正，
所以的最小值为.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】因为，所以
所以
又，，，,
所以，
故选C．
4．【正确答案】A
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：，乙：，
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；
甲得分的平均数，
乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；
甲的方差，
乙的方差为
故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.