2025届河南省郑州市高三下学期5月联考数学模拟试题
（三模）
一、单选题（本大题共1小题）
1．已知等差数列的公差为3，则（????）
A．3 B．9 C．27 D．30
二、解答题（本大题共5小题）
2．已知函数．
(1)当时，，求实数的取值范围．
(2)若，设的正零点从小到大依次为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断数列的单调性，并证明．
附：当时，．
3．已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)过点和线段的中点作一条直线与交于两点，求四边形面积的取值范围．
4．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，且，记，．
??
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记．若，求的值．
5．如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求平面与平面的夹角的大小．
6．小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．
(1)求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；
(2)每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．
三、填空题（本大题共3小题）
7．若过点的直线与抛物线交于、两点，以、为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
8．我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”，已知三棱锥中，，、、分别在棱、、上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为．
9．已知集合，非空集合，若，则的取值范围是．
四、多选题（本大题共3小题）
10．如图，一个圆形仓鼠笼被分为四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（????）
??
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，已知，，为的中点，则下列说法正确的是（????）
A．长度的取值范围是
B．直线与平面所成的角为
C．若，则所成的角为
D．若，则三棱锥外接球的表面积为
12．在中，若，，点在边上，点在边上，且，，，则（??）
A． B． C． D．
五、单选题（本大题共7小题）
13．与曲线和圆都相切的直线有（????）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
14．若，且，．则的最大值为（????）
A． B．1 C． D．
15．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（????）
??
A． B． C． D．
16．已知、，若，，则（????）
A． B． C． D．
17．若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（????）
A．14 B．12 C．10 D．8
18．若为方程的两个不同的根，则（????）
A． B．2i C． D．2
19．已知，且，则（????）
A． B．
C． D．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题，公差，则.
故选C.
2．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）数列是递减数列，证明见解析
【详解】（1）由题意，即对任意恒成立．
设，则，
当时，，则，所以，在上单调递增，
，所以，
即的取值范围是．
（2）（ⅰ）若，，则在定义域内恒成立，
所以对任意，在区间上单调递增，
又，当趋近于时，趋近于，所以在区间内有唯一零点，
所以．
所以和都在区间内，
又，所以，
即．
（ⅱ）数列是递减数列．
证明如下：记，要证明数列是递减数列，
即证明：当时，，即，
又因为，所以只需证明当时，．
由（ⅰ）知，所以，且．
所以，所以．
，
设函数，，
则，
因为在区间上单调递增，所以当时，，，
所以在时单调递增，所以，
即，所以．
因为在上单调递增，且，所以，
综上，数列是递减数列．
3．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设的半焦距为．
当在短轴顶点时的面积取得最大值，
依题意可得，，又，
所以，解得，
所以的方程为．
（2）设，．
由，消去得，
则，
，，
因为，
所以
，
化简得，此时成立，证毕．
（3）设的中点为，因为直线经过点和点，
所以不妨设，，
则．
又
．
由，得点的坐标为，
又，
所以，
代入的方程得，
化简得，则．
所以
，
因为，所以，所以，
即四边形面积的取值范围为．
4．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设，则．由余弦定理得，
，
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由（Ⅰ）知，又，所以．
（3）若，则，得，与已知矛盾．
所以，则，
所以化为，即，
整理得，即，
解得．
5．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1