2025届河南省开封市高三下学期大联考数学模拟试题（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，若，则（）
A． B． C． D．
2．已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（）
A． B． C． D．
3．如果是实数，那么“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知是减函数，则函数的大致图象为（）
A． B．
C． D．
5．若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
6．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（）
A． B． C． D．
7．张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（）
A． B． C． D．
10．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（）
A．
B．
C．的解集为
D．
11．已知函数，，则（）
A．是一个周期函数
B．，
C．方程在区间上有4个不同的解
D．，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．若的展开式中的常数项为，则.
13．已知是第三象限角，，则.
14．已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为；若，均与圆相切，则的最小值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下列联表：
性别
课程
合计
参加“剪纸”课程
不参加“剪纸”课程
男生
10
女生
30
50
合计
(1)补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联；
(2)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为，求的期望.
附：，其中.
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
16．已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证.
17．已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值.
18．如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.
(1)求图2中的长度；
(2)求图2中直线与所成角的余弦值；
(3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由.
19．设，定义为的“函数”.
(1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设为的“函数”.
（ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，，，
所以是方程的根，则，解得，
故，合乎题意，故.
故选C.
2．【正确答案】D
【详解】在复平面内，对应的点为，
而关于直线对称的点为，则，所以.
故选D.
3．【正确答案】A
【详解】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件.
4．【正确答案】B
【详解】因为是减函数，且是增函数，
所以，
因为，
又当时，，
所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.
故选B.
5．【正确答案】C
【详解】法1：因为，
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，
要满足函数在区间内仅有一个零点，
则，，解得.
故选C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，
而，，
令，解得或；
即在上单调递增，原问题等价于.
故选C
6．【正确答案】B
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
在正方体中，可得且，
因为，分别是棱的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，