2025届河南省开封市高三下学期4月联考数学模拟试题
（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．椭圆的焦距为（????）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．若成等比数列，则（????）
A．4 B．6 C．9 D．12
3．函数的最小正周期为（）
A． B． C． D．
4．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（）
A． B． C． D．
6．已知函数满足，，函数，若，则的值可以是（????）
A．149 B．151 C．199 D．300
7．已知函数，为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
8．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（????）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
10．已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（????）
A．
B．若，则
C．和的面积之和的最大值为1
D．若，则
11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（????）
附：双曲线在其上一点处的切线方程为.
A．
B．
C．作于点，则（为坐标原点）
D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知角α的终边经过点，则的值为．
13．高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率．
14．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有．
①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8
四、解答题（本大题共5小题）
15．在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异.
睡眠时长/小时
人数
5
12
28
36
17
2
(1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为.
（i）求的值；
（ii）求的分布列和期望.
16．已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
17．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证．
18．已知抛物线为上一点.
(1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切.
(2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为.
（i）求的方程；
（ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值.
19．已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题意得，，故，
∴椭圆的焦距为2.
故选B.
2．【正确答案】C
【详解】根据等比中项的概念可得，.
故选C.
3．【正确答案】C
【详解】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的，
所以的最小正周期是的最小正周期的一半，
因为的最小正周期为，
所以的最小正周期为．
故选C.
4．【正确答案】A
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选A.
5．【正确答案】A
【详解】由题可知，，
所以，
因为，，所以，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
故．
故选A.
6．【正确答案】A
【详解】由，，
得的前项的值依次为，
观察规律可得：当时，为正