2025届广东省大湾区普通高中毕业考试模拟考试数学试题
（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数，则（????）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
3．一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若，且，则的最小值为（????）
A．2 B． C．3 D．
5．已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（????）
A． B． C． D．
6．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（????）
A．55 B．45 C． D．
7．从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（????）
A． B． C． D．
8．若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设函数，则（????）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
10．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（）
A．
B．直线是曲线的对称轴
C．在区间内有两个极值点
D．曲线与直线所围成封闭图形的面积为
11．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（????）
A．
B．若服从两点分布，，则
C．若，则
D．若实数为常数，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则.
13．若角的终边经过点，则.
14．已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角的对边分别为的面积为，满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
16．如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2.
??
(1)若，证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.
17．已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有三个零点，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
19．依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）.
(1)求；
(2)求的递推关系式，并求；
(3)求的数学期望（用含有的式子表示）.
答案
1．【正确答案】B
【详解】，
所以，
故选B.
2．【正确答案】D
【详解】
所以，A错误；
因为，所以虚部为，B错误；
，C错误；
在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确.
故选D
3．【正确答案】C
【详解】因为，
所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数，
所以，解得，
故选C.
4．【正确答案】B
【详解】因为，即，即，
且，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选B
5．【正确答案】A
【详解】，
设，所以，即，
又因为向量与的夹角等于向量与的夹角，
所以，即，
解方程组解得或，
所以或，又因为向量与不共线，
所以.
故选A.
6．【正确答案】C
【详解】令可得，
再令可得，
又因为，所以，
再令可得，
又因为，所以有，
即是等比数列，则有首项，公比，
所以，即，
则，
故选C.
7．【正确答案】A
【详解】
根据双曲线具有的对称性，不妨设双曲线上第一象限的点，
则由双曲线可得渐近线方程为，即
所以由点到直线的距离公式可得：
由，
由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得，
即，则代入双曲线得：，
则过点作渐近线的垂线可得方程为：，
与渐近线联立解得：，即得，
再过点作渐近线的垂线可得方程为：，
与渐近线联立解得：，即得，
所以，
故选A.
8．【正确答案】C
【详解】
取中点，连接，过点作，
由条件可得均为等边三角形，
则，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
且，平面，所以平面，
又，则，
且是三棱锥外接球的直径，则，
则，
在中，由余弦定理可得，
则，
所以，
则.
故选C.
9．【正确答案】ABC
【详解】，
令，此函数定义域为，
，故此函数为奇函数，A正确；
；
，B正确；
，令，