2024-2025学年湖南省长沙市高三下学期4月月考数学模拟试题
（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，集合，则集合（????）
A． B． C． D．
2．设，则（????）
A． B． C． D．
3．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．将函数的图像向右平移单位后得到函数的图像，若，则的值为（????）
A． B． C． D．
6．设函数，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
7．己知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（????）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（????）
A．若线性回归方程为，则样本数据的残差为0.2
B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积不相等
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小
10．已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（????）
A． B．
C． D．
11．设数列满足，，其中为实数，数列的前项和是，下列说法正确的是（????）
A．若，，则是等比数列
B．当，时，数列是递增数列
C．当，时，不存在使是周期数列
D．当，时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．过三个点，，的圆的方程为．
13．等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为．
14．设函数，若恒成立，则的最小值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，四边形为正方形，E，F分别为，的中点，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
16．在中，，，分别是角，，的对边，若且．
(1)求；
(2)设角的平分线交边于点，求长度最大值．
17．已知函数．
(1)若在处有极大值，求的单调递减区间；
(2)若直线与函数的图象相切，求实数m的值．
18．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．
(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．
19．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P绕坐标原点O逆时针旋转角度后变为点，点的坐标为，则有如下的坐标关系：，据此回答下列问题：
(1)曲线绕坐标原点O逆时针旋转角度后变为曲线，求曲线的方程与离心率；
(2)已知曲线，动直线与曲线从上至下交于两点，动直线与曲线从上至下交于两点，
①是否存在定点F使得为定值，若存在，请求出一个点的坐标：若不存在，请说明理由；
②求四边形面积的最大值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】，
所以.
故选A.
2．【正确答案】C
【详解】，
所以.
故选.
3．【正确答案】C
【详解】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．
解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，
由抛物线的定义知：
|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．
故选C．
4．【正确答案】C
【详解】由题意得，
所以，
所以
所以在上的投影向量为.
故选.
5．【正确答案】D
【详解】由题意可得，
，
又，
所以.
故选D
6．【正确答案】B
【详解】的定义域为，
且，
所以为偶函数，，
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递减；
，即，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选.
7．【正确答案】C
【详解】由得，又符合上式
所以对任意，有，
则，
因此，
因为，，
又因为，
所以，
所以，
因为对任意正整数n都成立，
所以对任