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2024-2025学年北京师范大学第二附属中学高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=1+cosx的图象(????)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=π
2.已知2πθ3π，cosθ=m，则sinθ2
A.1+m2 B.?1+m2
3.若函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,a]上单调递增，则a的最大值为(????)
A.π2 B.π3 C.5π12
4.在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数z=(????)
A.2+i B.2?i C.1+2i D.1?2i
5.已知函数fx=Acosωx+φ(ω0,?πφ0)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为
A.fx=2cos2x?5π6 B.f
6.函数f(x)=1?cos2xsin
A.关于直线x=π对称 B.关于点π2,0对称
C.关于原点对称 D.关于
7.在?ABC中，A=π4，cosB=1010
A.255 B.?25
8.某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45
A.20(1+33)m B.20(1+3
9.已知向量OA=0,2,OB=2,0
A.0,π4 B.π3,2π3
10.已知定义在[0,π4]上的函数f(x)=sin(ωx?π6)(ω0)
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.求函数y=3cosx0≤x≤π的图象与直线y=?3及y轴围成的封闭图形的面积??????????
12.若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为
13.设函数f(x)=sinωx+π6(ω0)，若f(x)≤fπ3对任意的实数x
14.函数y=sin2x+2cosx在区间[?2π3,a]上的值域为[?1
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,φ≤π2，x=?π4为fx的零点，x=π4为
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
用“五点法”画出函数y=2sin(2x+π
17.(本小题12分)
计算cosα+5π12
18.(本小题12分)
设4sin2x+6sinx?co
19.(本小题12分)
如图，在Rt?ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时，BP?
20.(本小题13分
如图，游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲，乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cos
(1)求索道AB的长．
(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应该控制在什么范围内？
21.(本小题14分
设函数fx的定义域为1,a2，其中常数a1.若存在常数T0，使得对任意的x∈1,a，都有fax
(1)当x∈1,100时，判断函数y=x2和y=cosπx是否具有性质
(2)若a=3，函数fx具有性质P，且当x∈1,3时，fx
(3)已知函数fx具有性质P，f1=0，且fx的图像是轴对称图形.若fx在1,a上有最大值AA0，且存在x0
参考答案
1.B?
2.D?
3.C?
4.B?
5.A?
6.C?
7.A?
8.B?
9.C?
10.C?
11.3π?
12.π2(2kπ+π2
13.1?
14.[0,2π
15.9?
16.列表时，2x+π3的取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x值和
①列表．
2x+
0
π
π
3π
2π
x
?
π
π
7π
5π
y
0
2
0
?2
0
②描点．
③用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．
由π2+2kπ≤2x+π
所以函数的递减区间为π12
由?π2+2kπ≤2x+
所以函数的递增区间为?5π
17.解：cosα+
=
=
=
=sin
18.解：由4sin
2sin
即2sin
∵sin
则2sin
∴2sinx?cos
联立cosx=2sin
则cos2x=2co
tan2x=
∴co