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2024-2025学年甘肃省酒泉市四校联考高一下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列复数中与复数z=4?1?3
A.2(cosπ3+isinπ3)
2.已知复数z1=?2?6i,z2
A.24 B.22 C.
3.若a,b是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为
①a?
②a+
③3a?2
④2a?b
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.已知α,β∈0,π，且cosα=7
A.π4 B.3π4 C.π
5.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于点(π6
A.1 B.2 C.33
6.已知向量a、b满足a=2，b=4，a?b=?
A.?24 B.?22
7.如图所示，支座A受F1,F2两个力的作用，已知F1=18N，与水平线成θ角，F2=8N，沿水平方向，两个力的合力
A.148 B.112 C.12
8.下列结论中正确的是(????)
A.若a为非零向量，且a?b=a?c，则b=c
B.对于向量a,b，若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
C.在?ABC中，若2OA+3OB
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是(????)
A.tan72°?tan27°?tan72
10.下面四个命题中正确的是(????)
A.若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2
B.若z120，则z1
11.设点O是△ABC所在平面内任意一点，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在△ABC的边上，则下列结论正确的是(????)
A.若点O是△ABC的重心，则AO+BO=OC
B.若点O是△ABC的垂心，则(AO+BO)?CO=0
C.若(OA+OB)?AB=(OB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=23,B=60°
13.已知tan(θ+π4)=?3
14.已知4+i是关于x的方程ax2+2x+b=0(a,b∈R)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
当实数m取什么值时，复数z=m
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z在复平面内对应的点位于第四象限．
16.(本小题15分)
(1)若sinα+sinβ
(2)已知α,β∈(3π
17.(本小题15分)
已知向量a=(3
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(α2)=3
18.(本小题17分)
已知在?ABC中，N为AB中点，BM
(1)若∠BAC=60°
(2)设AB和AC的夹角为θ，若cosθ=14
(3)若线段NC上一动点P满足AP=12AC
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120
(1)若△ABC是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和;
(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab=sinA，点
(ⅰ)若ac=43
(ⅱ)求|PA|+|PC||PB|的最小值．
参考答案
1.B?
2.B?
3.B?
4.A?
5.D?
6.A?
7.D?
8.C?
9.AD?
10.BD?
11.ACD?
12.30°
13.?3
14.?9
15.(1)因为z为实数，则m2?3m=0
(2)因为z为纯虚数，则m2?3
(3)因为复数z=m2?3
所以m2?33m+60
由m2?3
?16.(1)由sinα+sin
则2?2(cosαcos
所以cos(α+β)=
(2)由α,β∈(3π4
则cos(α+β)=
所以cos
=4
17.(1)依题意，f(x)=
=
由π2+2kπ
所以f(x)的单调递减区间为[π
(2)由(1)知，f(α2)=2
由α∈(π6,
所以sin
=1
18.(1)因为BM=14
又因为BC=AC?
那么|AM|
已知|AB|=1，|AC|=2，∠BAC=
代入可得|AM|2
(2)因为N为AB中点，所以AN=12
根据向量数量积的分配律可得：CN
已知|AB|=1，|AC|=2，
代入可得CN?
因为CN?A