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2024-2025学年广东省广州市衡美高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(x,1,1),b=(?2,2,y)，满足a⊥b
A.?1 B.1 C.?2 D.2
2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a6
A.55 B.50 C.100 D.58
3.在(1+3x)5展开式中，x2的系数为
A.15 B.90 C.270 D.405
4.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x
A.?9 B.9 C.?1 D.1
5.已知数列1，?3，5，?7，9，…，则该数列的第99项为(????)
A.?197 B.197 C.?199 D.199
6.曲线f(x)=ex?3x在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A.18 B.16 C.14
7.如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线
A.MN//BC
B.D1、N、M三点共线
C.D1M与
8.树人中学的科学社团设计了一块如图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为(????)
A.36 B.48 C.54 D.56
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(4,?2,?4),b=(6,?3,2)，则下列结论正确的是
A.a+b=(10,?5,?2) B.a?b=(2,?1,6)
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1
A.数列{Sn+1}是等比数列 B.an=2n?1
C.S
11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)存在两个极值点x1，x2(x1x2)，且
A.x20 B.n的取值为2、3、4
C.mn=m+n+2 D.mn的取值为3、6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn
13.已知函数f(x)=2ax?2lnx，函数g(x)=x?2，若恒有g(x)≤f(x)，则a的取值范围为______．
14.将9个互不相同的向量ai=(xi,yi)，xi，yi∈{?1,0,1}，i=1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a4=3，S7=14．
(1)求{an
16.(本小题15分)
在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式(2x+1x)n(n∈N
17.(本小题15分)
如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P，Q分别在线段BM，AC上，且BP=2PM，AQ=2QC．
(1)求证：PQ/?/平面BCD；
(2)若AD=BD=2CD=6，BC=33，求直线AP与平面
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx?k(x?1)，k∈R．
(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数y=f(x)在区间(1,+∞)上有1个零点，求实数k的取值范围．
(3)是否存在正整数k，使得f(x)+x0在x∈(1,+∞)上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
定义正方形数阵{a(i,j)}满足a(i,j)=i2?j2，其中i，j∈N?．
(1)若i+j=100，求数阵{a(i,j)}所有项的和T；
(2)若m，n，p，q∈N?，求证：a(m,n)a
参考答案
1.D?
2.A?
3.B?
4.B?
5.B?
6.C?
7.B?
8.C?
9.ACD?
10.ACD?
11.AD?
12.919
13.[1
14.72?
15.解：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
由题知，a3+a4=2a1+5d=3S7=7a1+21d=14，解得a1=?1，
16.解：(1)选条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；故Cn2=n(n?1)2=21，解得n=7；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；故Cn1=Cn6，故n=7；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系