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2024-2025学年广东省广州中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在复平面内，O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为3?5i，?2+4i，那么向量AB对应的复数的虚部是(????)
A.9i B.?1 C.?i D.9
2.下列说法正确的是(????)
A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
3.?在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=(????)
A.34AB?14AC B.1
4.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是(????)
A.4+43cm B.82cm
5.已知在△ABC中，AB=3，AC=4，cosA=58，则AB?
A.?34 B.?32 C.
6.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120°，CD=30米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，则塔高AB=(????)
A.30米
B.302米
C.303米
7.已知△ABC的外接圆的圆心为O，且2AO=AB+AC，|BC|=
A.?13BC B.23BC
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cb+2bc=3cosA，1
A.64 B.105 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是(????)
A.若m//α，n//α，则m//n
B.若m//n，m//α，则n//α
C.若m?α，n?β，则m，n是异面直线
D.若α//β，m?α，n?β，则m//n或m，n是异面直线
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(????)
A.若tanA+tanB+tanC0，则△ABC一定为锐角三角形
B.若AB?AC0，则△ABC是锐角三角形
C.若sinAsinB，则AB
D.若A=60°，a=3，b=2
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是(????)
A.圆锥?SO的侧面积为82π
B.三棱锥S?ABC体积的最大值为83
C.∠SAB的取值范围是(π4,π3)
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a=(sinθ,1)，b=(cosθ,2)，若a//b，则tanθ=
13.已知直三棱柱ABC?A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2
14.在△ABC中，AB?AC=9，sin(A+C)=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z1=1+ai(其中a∈R且a0，i为虚数单位)，且z12为纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若z
16.(本小题12分)
已知a=(3,?2)，b=(2,1)，O为坐标原点．
(1)若ma+b与a?2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
(2)
17.(本小题12分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC=csinB，C=2π3．
(1)求B；
(2)若△ABC面积为33
18.(本小题12分)
已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1=BPPD=23．
(Ⅰ)求证：PQ//平面
19.(本小题12分)
三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
(1)若θ=30°.求证：
①a2+b2+c2=43S
参考答案
1.D?
2.D?
3.A?
4.D?
5.B?
6.A?
7.D?
8.D?
9.ABC?
10.AC?
11.BD?
12.12
13.32π3
14.1112
15.解