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2024-2025学年广东省江门市鹤山市纪元中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在?ABC中，已知a=3，b=2，A=60
A.45°或135° B.45° C.135°
2.已知复数z满足：i+2z=1+i，则z=
A.35+15i B.15
3.已知角β的终边上一点P的坐标为(1,2)，则tan(β+π4
A.?13 B.13 C.?3
4.下列函数中，在0,π2上递增，且周期为π的偶函数是(????)
A.y=sinx B.y=cos2x C.
5.如果a,?b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是
A.a=b B.a2=b2
6.在?ABC中，AB=c→，AC=b→，若点D
A.14b→+34c→
7.若tanα=2tanβ,sin(α+β)=
A.?19 B.19 C.2
8.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为4，则勒洛三角形的面积为(????)
A.4π?3 B.4π?23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z1=2?i,
A.z2=z2
B.z1?z2的虚部是?5i
C.在复平面内，
10.设向量a=(2,0),b=(1,1)，则
A.a=b B.a与b的夹角是π4
C.(a?b)⊥
11.已知函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x?
A.f(x)和g(x)的最小正周期相同
B.f(x)和g(x)在区间0,π4上的单调性相同
C.f(x)的图象向右平移π3个单位长度得到g(x)的图象
D.f(x)和g(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,m),b=(?1,m)，若2a+b与b垂直，则正数
13.已知tanα=2，则sin2α?3
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的部分图象如图所示，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知a=4，b=2，且a与b的夹角为
(1)求(2a
(2)求2a
(3)若向量2a?λb与λa
16.(本小题13分
已知sinα=35
(1)求sin2
(2)已知β∈0,π2，且
17.(本小题15分)
如图，甲船在距离A港口24海里并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．
(1)求∠ABC的正弦值；
(2)当乙船行驶20海里到达D处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离．
18.(本小题17分
函数f(x)=4sin
(1)把f(x)的单调减区间
(2)求f(x)在区间[0,π2
(3)把y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数y=g(x)的图象，再把函数y=g(x)图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y=?(x)的图象，若函数y=?(x)?2在区间[0,m]上至少有
19.(本小题17分)
在锐角?ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边，若满足
(1)求角B的大小；
(2)求sinA+
(3)当sinA+sinC取得最大值时，在?ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC=2,DA=1，求
参考答案
1.B?
2.A?
3.C?
4.D?
5.B?
6.C?
7.B?
8.D?
9.ACD?
10.BC?
11.ABD?
12.1?
13.?2
14.?
15.解：(1)因为a=4，b
所以(2a
(2)因为a=4，b=2，且a与b的夹角为
所以a·
所以2a
所以2a
(3)因为向量2a?λb与λ
由平面向量基本定理可得2=tλ
解得λ=6
所以λ的值为±
?
16.解：(1)因为sinα=35，且α
所以sin2
(2)因为α∈π2,?π
又sin(α+β)=?5
由(1)知，sinα=35
所以cos
=?12
17.解：(1)由题设，∠BAC=60°，BC=31，
在△ABC中，ACsin∠ABC=
(2)由题意，BD=20，由(1)及题图知：∠ABC为锐角，则cos∠
由CD
所以CD=21海里．
18.解：(1)依题意，函数f(x)=2sin
由π2+2kπ
所以f(x)的减区间为[