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2024-2025学年广东省深圳市高级中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=2x?1,?4，b=4,
A.?32 B.?2 C.52
2.已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下面命题中正确的是(????)
A.若m/\!/n,n/\!/α，则m/\!/α B.若n?α,n/\!/β，则α/\!/β
C.若α⊥γ,β⊥γ，则α/\!/β D.
3.在△ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=
A.5 B.3或5 C.4 D.2或4
4.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，
A.直线GH和MN平行，GH和EF相交
B.直线GH和MN平行，MN和EF相交
C.直线GH和MN相交，MN和EF异面
D.直线GH和EF异面，MN和EF异面
5.如图，某人为测量塔高AB，在河对岸相距s的C，D处分别测得∠BCD=α，∠BCA=β，∠BDC=γ(其中C，D与塔底B在同一水平面内)，则塔高AB=(????)
A.s?sinγtanβsin(α+γ) B.s?
6.已知平面向量a,b，a=2，b=1，a在b上的投影向量为b，λ∈R，则b?λ
A.14 B.12 C.3
7.如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且?ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为(????)
A.74 B.23 C.3
8.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=3，∠ABC=3π4.若AC
A.23 B.223 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，三棱锥P?ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=PA=6，BC=8，则(????)
A.D,F,B,C四点共面 B.点P与点B到平面DEF的距离相等
C.直线PB与直线DF垂直 D.三棱锥F?BED的体积为6
10.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列说法正确的是(????)
A.若sin2Asin2B+sin2C，则?ABC是锐角三角形
B.若?ABC是锐角三角形，则sinAcosB
11.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1，P
A.BP的最小值为32
B.AD1⊥PC
C.当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1?ACP的体积不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为2，则该圆台的侧面积为??????????．
13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长为??????????．
14.若向量a与向量b的夹角为θ，我们定义“a×b”为向量a与向量b的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为a→×b→=a→?b→sin
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
如图，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E为线段BC的中点，记
(1)用a，b表示向量AE；
(2)求AE的值；
(3)求AE与BD夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P?ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是线段PC上的动点．
(1)求四棱锥P?ABCD的体积；
(2)若E是PC的中点，求证：PA/\!/平面BDE；
(3)直线BD是否与直线AE互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知a,b,c分别为锐角?ABC三个内角A,B,C的对边，且a
(1)求A；
(2)若a=2，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若b=4，求?ABC面积的取值范围．
18.(本小题14分)
如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2B
(1)当t=12时，证明：平面A1
(2)当BB1=2时，求过点A?，E，
19.(本小题14分)
已知?ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=6，b=5，c=4．?ABC的内心、重心、外心、垂心依次记为点I、G、O、
(1)求AB?AC和
(2)连接A、I，并延长交BC边于点E，用AB，AC做基底来表示AI；
(3)被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在1765