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2024-2025学年河北省NT20名校联合体高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z?(1+i)=4，则z的虚部为(???)．
A.?2 B.2 C.?2i D.2i
2.已知平面向量a=(2,?1)，b=(x,3)，且a⊥
A.?1 B.1 C.?2 D.2
3.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为菱形A′B′C′D′，已知A′
A.63 B.93 C.
4.如图，在?ABC中，D为AB上靠近B的三等分点，E为CD的中点，设CA=a，CB=b，则AE
A.16a+13b B.?
5.如图，在正三棱锥P?ABC中，PA=22，三条侧棱两两夹角均为40°，M，N分别是PA，PB上的动点，则三角形CMN的周长的最小值为(????)
A.26 B.25 C.
6.如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与山底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得∠CBD=75°，∠BCD=60°，BD=45米，在点C处测得山顶A的仰角为60°，则该座山的高度为(????)
A.302 B.452 C.
7.已知正方体ABCD?A1B1C1
A.若M是C1D1的中点，AM与平面BB1D1D的交点为O，则A1，O，C三点共线
B.以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为13
C.若P是B1D1上的动点，则D，P，B
8.在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=2+2acosC，则2b+ac
A.(223,233
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复数范围内，关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的其中一个根为z1=1+
A.a=2，b=2 B.z2=2+i C.z
10.已知a，b，c分别为?ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(????)
A.ab是sinAsinB的充分不必要条件
B.若?ABC是锐角三角形，则点sinA?cosB,cosC?sinB在第四象限
C.若a=6，b=15
11.已知球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，且AB=BC=3，CA=3，若球心O到平面ABC的距离等于12R
A.R=3
B.若圆柱的外接球为球O，则圆柱侧面积的最大值为8π
C.若正三棱柱的内切球为球O，则正三棱柱的体积为483
D.若正四面体的各棱与球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(?1,3)，b=(λ,?1)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是
13.在锐角?ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，a=2，O为?ABC
外心，则OA?OB+OC
14.如图，在边长为3的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M
过M、N、D1作与正方体的截面为α，则截面α的周长为??????????
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足a=1，b=2，且
(1)设向量2a+b与向量a?b
(2)求a+b在b
16.(本小题15分)
已知复数z=a?2i(a∈R)，且z?1+i
(1)求实数a的值；
(2)设复数z1=a+
(3)复数z2满足z2?ai
17.(本小题15分)
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosB=c(3?b)
(1)求cosA
(2)若点D为BC延长线上的一点，且BC=2CD，AD=6，求?
18.(本小题17分)
如图，?BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD=4，cos∠BCD=
(1)求圆锥的外接球的表面积；
(2)求三棱锥P?BCD体积的最大值；
(3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积．
19.(本小题17分)
若?ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O是?ABC内一点，如图
(1)若a=3，OB=2OC，求?OBC
(2)若?ABC为正三角形，∠BOC=56π，∠AOB=2π3，连接
①求tan∠OAB；②求CDBC．
参考答案
1.A?
2.A?
3.D?
4.C?
5.A?
6.B?
7.B?
8.C?
9.CD?
10.BD?
11.BCD?
12.?3,1
13.?4
14.3
15.(1)
那么2a
a
所以cosθ=
(2)a+b在
=a
16.(1)因为z=a?2i(a∈
所以z?
又z?1+i为纯虚数，所以a?2=0