第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年河南师大附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设z=5+i，则i(z?+z)=
A.10i B.2i C.10 D.?2
2.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b
A.0 B.3 C.2 D.
3.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是(????)
A.若m//α，n//α，则m//n B.若l//α，m?α，则l//m
C.若α⊥β，l?α，则l⊥β D.若l//α，l⊥β，则α⊥β
4.已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，
A.2π B.4π C.8π D.10π
5.如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1
A.对任意点P，DP//平面AB1D1
B.三棱锥P?A1DD1的体积为16
C.线段DP长度的最小值为6
6.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是边长为4的正三角形，AA1=2，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM
A.π6
B.π4
C.π3
7.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3.半圆面AMD⊥底面ABCD，点M为圆弧AD上的动点.当三棱锥M?BCD的体积最大时，二面角M?BC?D的余弦值为
A.32 B.12 C.
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA?sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，CA=3CD?2CB，则线段CD
A.2 B.223 C.3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA=(3b?c)sinB，且cosA=13，则下列结论正确的是
A.a+c=3b B.tanA=22
C.△ABC的周长为4c D.△ABC
10.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑P?ABC中，PA⊥AB，AB=2，其外接球的体积为32π3，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是(????)
A.PA=BC=6
B.V=6
C.直线PC与平面PAB所成角的正弦值64
D.
11.对非零向量a,b，定义运算“(?)”：a(?)b=|a|cosθ+|b|sinθ，其中
A.若a//b，则|a(?)b|=|a|
B.若a=(?1,2),b=(?3,1)，则(a?b)(?)a=
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+32?mPC(m为常数)，则
13.设e1，e2为单位向量，满足|2e1?e2|≤2，a=e1
14.在三棱锥P?ABC中，∠ABC=60°，∠PBA=∠PCA=90°，点P到底面ABC的距离为2，若三棱锥P?ABC的外接球表面积为6π，则AC的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a,b,c，且a=(?2,1)．
(1)若a//c，且|c|=25，求向量c的坐标；
(2)若b
16.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P?ABCD中，在底面ABCD中，BC=23AD，E在棱PD上且PE=2ED．
(1)求证：BC//平面PAD；
(2)线段AD上是否存在点N，使得平面CEN//平面PAB
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB=23c2a2+c2?b2．
(1)求角A
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2C+sin2B=2?cos2A?sinAsinC．
(1)求角B；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，a=3，c=4，求BD；
19.(本小题17分)
如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a．
(1)过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，B，C1截下一个三棱锥B1?A1BC1，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，
参考答案
1.A?
2.D?
3.D?
4.C?
5