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2024-2025学年湖南省部分学校高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：AB?(DC?
A.2AD B.AD C.0 D.
2.若复数z=21+i，则z+2=
A.2 B.2 C.10 D.
3.已知平面向量a=3,?2，b=1,λ+1，若a⊥
A.12 B.?13 C.?
4.在△ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=
A.5 B.3或5 C.4 D.2或4
5.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为(????)
A.6π B.26π
6.已知向量m,n满足|m|=4,|n|=
A.32m B.38m C.
7.中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭(不考虑损耗)，若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为(????)
A.(40+1211)π7cm2 B.
8.已知△ABC内有一点O满足OA2?OB2=AC2
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中是真命题的有(????)
A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥
C.存在每个面都是直角三角形的四面体
D.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
10.已知z1，z2均为复数，且z2≠0
A.若z1z2=0，则z1=0 B.若z1=z2，则z1+z2
11.如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线.已知AB，BC是湖岸上的两条甬路，∠ABC=120°，BD=0.3km，BE=0.5km，∠DQE=60°(观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计)，则
A.DE=0.7km B.当∠DEQ=45°时，DQ=7620km
C.△DEQ面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数2?3i、?1+2i对应的向量分别是OA、OB，其中O是坐标原点，则向量AB对应的复数为??????????．
13.用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为45°，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为??????????．
14.如图，在?ABC中，∠CAB=π4，D是AB上的一点，P为CD上一点，且AP=13AC+12AB，若
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+mi，z
(1)若z=z1+
(2)若ω=z11+i
16.(本小题15分)
一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形ABCDE，将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周．
(1)求所得几何体的体积；
(2)求所得几何体的表面积．
17.(本小题15分)
在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，E为AB的中点，点F在BC上，且BF=2FC，记AB=
(1)用向量a，b表示向量EF
(2)求AF?EF
18.(本小题17分)
在锐角?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①c+b=2acosB；
(1)证明：A=2B；
(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=3
(3)求ca
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成θ0θπ角的两条数轴，e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下
(1)在θ仿射坐标系中，若a=(?3,7)，b=(4?5m,m+15)，且a//
(2)在θ仿射坐标系中，若OA=(3,1)，OB
①当θ=π3时，求
②设∠AOB=α，若对任意实数t，OA?tOB≥
参考答案
1.C?
2.D?
3.A?
4.B?
5.A?
6.C?
7.B?
8.B?
9.CD?
10.ABC?
11.ACD?
12.?3+5i
13.8?
14.13
15.(1)解：由复数z1=1+mi
可得z=z
因为复数z为纯虚数，所以m2?6m+8=0m?