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2024-2025学年湖南省长沙市湘军高级中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(????)
A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱
2.已知复数zi2023+2=10，则z
A.4+2i B.?4+2i C.4?2i
3.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图2所示)，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是
A.5 B.22 C.2
4.已知平面向量a=(1,2),b=(m,?1)，则“m2”是“
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a2cosA=b3cosB
A.π12 B.π6 C.π4
6.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为(????)
A.13 B.3 C.33
7.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为DB，A1C
A.?23 B.?13 C.
8.已知球O与正方体ABCD?A1B1C1D1的各个面相切，平面AC
A.33 B.12 C.1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m、n是两条不同的直线，α、β
A.若m⊥α,n/\!/α，则m⊥n B.若m⊥n,n/\!/α，则m⊥α．
C.若m⊥α,α/\!/β，则m⊥β
10.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形(????)
A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.圆 D.椭圆
11.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB=6，
A.三棱锥A1?ABD的体积为定值183
B.正三棱柱ABC?A1B1C1的外接球表面积为84π
C.?
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1
①异面直线A1D与AB
②直线A1D与
③直线A1D与B
13.已知i为虚数单位，若复数z满足|z?4i|=2，则|z+1?i|
14.已知球O的半径为192，A、B、C三点均在球面上，∠ABC=π4，AB=3，BC=22
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为
??
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积．
16.(本小题15分
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，
(1)若C1D⊥平面ADE
(2)证明：DE//平面ACC
17.(本小题15分)
已知a∈R，复数z1
(1)求z1
(2)当A?B?C
18.(本小题17分)
如图，在三棱台A1B1C1?ABC中，?A1B1C1和?ABC都为等边三角形，且边长分别为2和4，CC1
(1)求证：点H为线段BC的中点；
(2)求点H到平面A1AB
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥D?ABC中，AB=AD=BD=32，AC=7，
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC
(2)若点E是线段BD上的点，且BE=2ED，求直线CE与平面ADB所成角的正弦值．
参考答案
1.C?
2.C?
3.B?
4.B?
5.D?
6.C?
7.C?
8.D?
9.AC?
10.CD?
11.ABD?
12.①②?
13.10
14.32
15.(1)因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱ABC?A1B
所以VABC?
??
设圆柱底面圆的半径为r，
则r=2
圆柱体积VO
所以剩下的几何体的体积V=(12?2π
(2)由(1)直三棱柱ABC?A1B1C1可补形为棱长分别为
它的外接球的球半径R满足2R=32
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为S=4π×
??
16.(1)解：因为C1D⊥平面ADE，即C
又B1D?平面A
设BB1=x
又B1D2
(2)如图所示：
取线段AB的中点F，连接EF，FD，
因为E，D为中点，
所以FD//AC，
又FD?平面A1ACC1
所以FD//平面A
又BB1//AA1，所以
又EF