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2024-2025学年江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m是实数，已知a=(2,2m?1,1)，b=(4,3m?5,2)，若a//b，则m
A.?6 B.?3 C.3 D.6
2.曲线y=x2+1x在点
A.y=x+1 B.y=3x?1 C.y=x+3 D.y=3x?5
3.在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1
A.26 B.36 C.
4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是(????)
A.310 B.37 C.38
5.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l的方程为x?x0a=y?y0b=z?z0c，经过点P(x0,
A.27 B.357 C.
6.若2a+ln22
A.aln2bln3cln5 B.cln5bln3aln2
C.aln2cln5bln3 D.cln5aln2bln3
7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线BD1
A.(0,13) B.(13,1)
8.对于任意正实数x，y，都有(2x?ye)(lny?lnx)?2ax≤0，则实数a的取值范围为
A.(0,12] B.[12,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是(????)
A.任意向量a,b,c满足(a?b)?c=a?(b?c)
B.若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，
10.对于随机事件A，B，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=
A.P(AB)=320 B.P(A|B)=16 C.
11.已知函数f(x)=ax3?3x
A.?1是f(x)的极大值
B.当?1a0时，f(a?1)f(a)
C.当a2时，f(x)有且仅有一个零点x0，且x02
D.若f(x)存在极小值点x1，且f(
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.3，设Y=2X?1，那么P(Y=?1)=______．
13.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，则平面PBD与平面ABCD的夹角的正切值为______．
14.若对任意的实数t，函数f(x)=(x?t)3+(x?et)3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间四点A(0,2,3)，B(2,?2,?1)，C(1,4,3)，D(?1,3,λ)．
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形面积；
(2)若A、B、C、D四点共面，求λ的值．
16.(本小题15分)
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
(1)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？
(2)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色.两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量X的分布和数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a，b为常数)在x=1处取得极值．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在[1,e]上的最大值为2，求
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=2，PD=AB=BC=4.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．
(1)求证：AD/?/EF；
(2)若E为棱PA的中点，求二面角A?BE?C的正弦值；
(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex?x?a，a∈R，其中e是自然对数的底数．
(1)当a=?1时，求φ(x)=f(x)+sin2x在[0,π]上的值域；
(2)当0a≤1时，讨论f(x)的零点个数；
(3)当a≥1
参考答案
1.B?
2.A?
3.D?
4.C?
5.A?
6.D?
7.C?
8.B?
9.BC?
10.BCD?
11.AD?
12.0.7?
13.5
14.{a|a≤