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2024-2025学年江苏省宜兴市高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=1+2i2?i(i为虚数单位)，则|z|=
A.1 B.2 C.2 D.
2.已知向量a=(?1,1)，b=(1,3)，若a⊥(a+λ
A.?2 B.?1 C.1 D.2
3.一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是(????)
A.22 B.4 C.4
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3,B=60°,a2+
A.42 B.22 C.
5.下列命题中正确的是(????)
A.如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行
B.如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b
C.如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α，那么b//α
D.α∩β=a，b?α，c?β，b//c，那么a//b//c
6.已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若a，c
A.?6 B.?5 C.5 D.6
7.在△ABC中，已知tanA=14，tanB=35，且△ABC最大边的长为17，则
A.1 B.5 C.2
8.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F，M分别为AA1，BC，C
A.22 B.23 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z=1+i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(????)
A.|z|=2 B.z?z?=2
C.z2
10.设△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，a=23，A=π3
A.若b=4，则c=2
B.若c=5，则满足条件的三角形有且只有一个
C.△ABC面积的最大值为33
D.△ABC
11.三棱锥P?ABC的三条侧棱长均为1，且两两成30°角，M为AC中点，E，F分别为PB，PC(不含端点)上动点，则下列说法正确的是(????)
A.直线AE与BF为异面直线
B.当E，F分别为所在棱中点时，直线AE/?/平面BFM
C.当E，F分别为所在棱中点时，平面AEF将三棱锥分成两部分体积之比为1：4
D.AE+EF+AF的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个复数z，使其满足：实部和虚部互为相反数，且|z?|=2，则z=
13.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=14[c2a2?(c2+a2?b22
14.如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，P3，Q3是边B3C3的两个三等分点，AP3分别交B1C1、B2C2于P1、P2，AQ3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知虚数z=?1+mi是关于x的方程x2?nx+4=0的一个根(i是虚数单位，m0，n∈R)．
(1)求m+n的值；
(2)求证：z?2
16.(本小题15分)
设△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=7,b=3,A=2π3．
(1)求sinB的值；
(2)求c的值；
(3)求sin
17.(本小题15分)
在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°,AE=23AC,BF=12BC,AD=12AB，AF与DE相交于点O．
(1)若AC=3，求|DE|
18.(本小题17分)
如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的.已知AD=2，AB=4，P是CE上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．
(1)求该几何体的体积；
(2)求证：OQ//平面ABEF；
(3)若M是DF上的一点，且满足平面OMQ//平面ABEF，求sin∠FAM
19.(本小题17分)
定义：对于非零向量OM=(m,n)，若函数f(x)=msinx+ncosx，则称f(x)为向量OM的“伴生函数”，向量OM为函数f(x)的“源向量”.记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为S．
(1)已知?(x)=cos(x+α)+2cosx(α∈R)，若函数?(x)∈S，求函数?(x)的“源向量”的模的取值范围；
(2)设△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，向量OM=(a,bcosC+ccosB)的“伴生函数”为F(x)，且当x=A时，F(x)取得最大值．
①若BC=2，设G为△ABC