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2024-2025学年江苏省镇江中学高一下学期期中学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=(2+i)(1?i)，i为虚数单位，则复数z
A.i B.?i C.1 D.
2.已知水平放置的?ABC的直观图如图所示，A′C’=6，B′C’=4，则边AB上的中线的实际长度为
A.4 B.19 C.26
3.已知向量a，b满足：a=(1,0)，b=4，a?b=0
A.7 B.5 C.10
4.下列叙述中，正确的是(????)．
A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α
B.因为P∈α，Q∈β，所以α∩β=PQ
C.因为AB?α
5.已知等边三角形ABC的边长为1，设BC=a，CA=b，AB=
A.3 B.?3 C.32 D.
6.已知sinα?π12=
A.?79 B.59 C.7
7.设a=12cos6°?3
A.abc B.ab
8.在?ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=x，b=3，B=60°，若?ABC有两解，则x的取值范围是
A.(0,3) B.3,23 C.2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中错误的是(????)
A.z2=|z|2
B.若|z|=1，则|z?1?i|的最大值为2+1
C.若z=(1?2
10.给出下列命题中，其中正确的选项有(????)
A.若非零向量a，b满足：a+b=a+b，则a与b共线且同向
B.若非零向量a，b满足：a=b=a?b，则a与a+b的夹角为60°
C.若a=(2,3)，b=(?3,m)
11.在锐角?ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量m=(c,a+b)，n=(a,c)，且m//
A.ba B.C=2A
C.ca的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(?1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量的坐标为??????????．
13.2cos10
14.如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它．
①若C处离墙的距离为6m，则tanθ=??????????
②若要视角θ最大，则离墙的距离为___??????????__m．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知复数z满足z(1?3i)为纯虚数，
(1)求z以及z；
(2)设z1=z+m?i3z
16.(本小题15分)
在直角坐标系xOy中，已知向量OA=(1,?1)，OB=(3,1)，OC=(m,3)(
(1)若A，B，C三点共线，求m的值；
(2)若向量AB与AC的夹角为π4，求m
(3)若四边形ABCD为矩形，求D点坐标．
17.(本小题15分
已知角α，β满足cosα=?45，sinβ=
(1)求sin(α?2β)
(2)求α2+β
18.(本小题17分
如图，扇形OAB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为2π3，C为弧AB的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP=BQ，设OA=
??
(1)若OP=23OA，用a，b表示
(2)求CP?CQ
19.(本小题17分)
在①bc=t(b+c)，其中t为角A的平分线AD的长(AD,BC交于点D)；②sin2A?
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c
(1)求角A的大小；
(2)若b=1，c=2，G为?ABC的重心，求AG
(3)求m=a+bc的取值范围．
参考答案
1.D?
2.D?
3.B?
4.D?
5.D?
6.D?
7.C?
8.B?
9.ACD?
10.AD?
11.BCD?
12.35,4
13.3
14.12/0.5；
15.【详解】(1)设z=a+bi(a,b∈
由z1?3
得a+3b=0①，且b?3a≠0，
由z?z=?2b
由①②解得a=?3,b=1，验证知
所以z=?
(2)由(1)可知，z1
由z1=2
整理，得m2
解得m=1或m=5．
故实数m的值为1或5．
?
16.【详解】(1)向量OA=(1,?1)，OB
所以AB=OB?
由A，B，C三点共线知，AB//
即2(m?1)?2×4=0，解得
(2)cos
解得m=1，
(3)设D(x,y)，
由AB=(2,2)，BC
AD=
CD=
若四边形ABCD为矩形，则AB⊥
即AB?BC=2(m?3)+4=0
由?AB?
解得x=?
故D(?