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2024-2025学年山东省青岛第二中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数z1在复平面内对应的点坐标为(1,3)，z2=z1i
A.i B.?i C.1 D.
2.已知向量a与b是两个不平行的向量，若a//c且b//c，则c
A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量
3.在?ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知BC=3，AC=32，sinB=
A.π3 B.2π3 C.π3或2π
4.下列说法正确的是(????)
A.若a，b是两条相交直线，且a/平面α，则b与α相交
B.若a，b是两条平行直线，且a/平面α，则b//α
C.若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线
D.若a，b是两条平行直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=a，b
5.已知点O为?ABC的外心，且向量AO=λAB+(1?λ)AC，λ∈R，若向量BA在向量BC上的投影向量为14BC
A.32 B.55 C.
6.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是(????)
A. B. C. D.
7.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′//O′B′，，A′C′=1，O′B′=2，则以原四边形AOBC的边AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为(????)
A.142π+8π B.1423
8.已知函数f(x)=sinωx(ω0)，其图象相邻对称轴间的距离为π
y=g(x)的图象.在钝角?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B2)=g(A
A.[42,+∞) B.[4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A0，ω0，|φ|
A.函数f(x)的最小正周期是2π B.fπ6=1
C.函数f(x)在[?π4,π4
10.已知z是复数，且z+1z?1为纯虚数，则(????)
A.z?z=1
B.|z?|2=|z2|
11.在直平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=AC=AA1=2，
A.存在点M，使C1M//平面AB1C
B.无论M的位置如何，三棱锥C?MA1C1的体积为定值
C.存在点M
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量a，b满足a?b=13，且c=
13.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是50cm，则石凳的表面积为??????????cm2．
14.已知?ABC中，AB=2，AC=1，|(1?λ)AB+2λAC|(λ∈R)的最小值是3，若M为边AB上任意一点，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=(a+i)
(1)若z1z2
(2)若z1z2是纯虚数，a是正实数，求
16.(本小题15分)
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，2c
(1)求B；
(2)若b=2393sinB，BC
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥S?ABCD中，BC//AD，BC=1.点E在AD上，且AE=1，
??
(1)求证：AB//平面SCE
(2)若点F在线段SE上，且BF//平面SCD，求证：F为线段SE的中点．
18.(本小题17分)
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bsinA
(1)求a；
(2)求?ABC
(3)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在?ABC所在的平面内有一动点D(x,y)，满足DA?DC=
19.(本小题17分)
已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果?x,y∈S，总有x+y，x?y，x?y∈S，则称S是数环.设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②?x,y∈F
(1)求元素个数最小的数环S；
(2)记Q2=
(3)若F1，F2是数域，判断F1
参考答案
1.D?
2.A?
3.C?
4.D?
5.D?
6.B?
7.D?
8.C?
9.BCD?
10.AB?
11.ABD?
12.2
13.(7500+2500
14.1564
15.(1)因为z1=(a+i)
所以z1=i
所以a2?1=32a=4，解得实数a
(2)由题意得z1
因为z1z2是纯虚数，所以4a2
又因为a是正实数，所以a=2，所以z1
所以z