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2024-2025学年山东省青岛市青岛第十九中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若i(1?z)=1，则z+z=
A.?2 B.?1 C.1 D.2
2.在等式①0?a=0；②0?a=0；③(a?b)?c=a?(b?c
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′=2，
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知向量a,b满足a|=1,|b=2,
A.?24 B.?22
5.已知向量a=(x,y)，若向量(12m,5m)(m0)与a反向，且向量a在向量(3,0)上的投影向量为(?12,0)，则x?y的值为
A.7 B.?17 C.17 D.?7
6.若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为π2，则这个圆锥的体积为(????)
A.324π B.312π
7.已知正三棱锥的底面边长为6，侧面积为183，则该三棱锥的外接球的表面积为(????)
A.49π B.49π3 C.48
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2,∠ABC=30°,AC⊥CB,∠BDC=120
A.3 B.2 C.23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体ABCD?A1B1C1D1
A.存在四个点，使得这四个点构成平行四边形
B.存在四个点可以构成正四面体
C.不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D.存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
10.对于?ABC，有如下判断，其中正确的判断是(????)
A.若a=2,A=30°，则b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4
B.若a=8,b=10,B=60°，则符合条件的?ABC有两个
C.若点P为?ABC所在平面内的动点，且AP=λ
11.欧拉公式exi=cos
A.复数ei对应的点位于第二象限 B.eπ2i为纯虚数
C.eπi?1=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.?ABC中，BD=2DC，若AD=xAB
13.如图所示，三棱台ABC?A′B′C′的体积为7，AB=2A′B′，沿平面
14.在锐角?ABC中，若b2+c2=2a
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知复数z1=i?a，
(1)若z12=?
(2)若z1
①求z1
②当z?2z1=1时，
16.(本小题15分)
设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且sin(B+C)=2
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，BC边上的高为3217，求三角形
17.(本小题15分
在面角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=4，点F是BC边上的中点，点
(1)若E是CD边的中点，试用AE和AF表示AB；
(2)①若DE=12
②求EA?EF
18.(本小题17分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin
ωx+φ
0
π
π
3
2
x
m
π
n
5
p
A
0
3
0
?3
0
(1)求出实数m,n,p和函数f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上的所有点向右平移θ(θ0)个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.已知g(x)图象的一个对称中心为
(3)在(2)的条件下，当θ取最小值时，若对x∈?π6,π6，关于
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601?1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当?ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
(1)求角A；
(2)若?ABC为锐角三角形，求?
(3)若PA?PB+
①求?ABC
②求PA+PB+
参考答案
1.D?
2.B?
3.C?
4.A?
5.D?
6.A?
7.A?
8.B?
9.ABD?
10.ACD?
11.BD?
12.29
13.3?
14.12
15.解：(1)复数z1=i?a，则
又a是实数，因此a2?1=0?2a
所以实数a的值是1．
(2)复数z1
则z1
因