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2024-2025学年山东省烟台市高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z+1=2i?z，则z的虚部为(????)
A.13 B.23 C.13
2.若tanα=3，则sin2α?2cos
A.?25 B.25 C.?
3.在平面直角坐标系中，已知A(?1,2),B(0,5)，则向量OA在AB上的投影向量为(????)
A.(1,3) B.22,32
4.在?ABC中，2BN=NC，M是AN上一点，且BM=λAB
A.13 B.?23 C.2
5.斜拉桥(如图1)是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角∠ADB=β,∠ACB=α(如图2)，主塔AB的高度为?，则CD间的距离为(????)
A.?sin(α?β)sinαsinβ B.?
6.若函数f(x)=2sin2x?π4在π24,t
A.7π12 B.2π3 C.
7.若3tanπ6+αcos
A.13 B.?13 C.7
8.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(ac)，已知asinA+C2=bsinA，且c=4,AC，BC
A.1 B.3 C.2 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有(????)
A.若向量a,b,c满足a?c=b?c且c≠0，则a=b
B.对于任意向量a,b
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω
A.函数f(x)的图象关于点7π12,0对称
B.函数f(x)在π3,5π6上单调递减
C.函数f(x)在?2π3,25π12
11.已知?ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2?a
A.tanC=2tanA
B.若sinAcosC=36，则B=π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2),b=(x,?2)，且a⊥
13.已知0βπ4
14.如图，在四边形ABCD中，BA=BD=BC=2,∠ABC=2π3，BE
2时，BF的长为??????????，②四边形BFDE面积的最大值为??????????
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1
(1)若z1为纯虚数，求复数z
(2)若z1为虚数且在复平面内对应的点在直线y=12x
16.(本小题15分)
一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东4km/?.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B(AB与河的方向垂直)，B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为5km/?．
(1)求货船航行速度的大小；
(2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=23sin
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，若对任意的x∈0,π
18.(本小题17分)
在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①bsinA=a
(1)求角B；
(2)若ab，求b+c
19.(本小题17分)
在?ABC中，B=
(1)求sinA
(2)若?ABC的面积为18，∠BAC的平分线与边BC交于点D，求AD的长．
参考答案
1.B?
2.B?
3.C?
4.D?
5.A?
6.D?
7.C?
8.D?
9.BC?
10.ABD?
11.ACD?
12.2
13.1665
14.6+
15.解：(1)由z1
可得m2+7m+12=0m+3≠0，解得m
则z1
(2)由z1为虚数且在复平面内对应的点在直线y=
则(m+3)=12m2+7m+12
由于z1为虚数，所以m=?3舍去，故m
则z1
16.解：(1)以A为坐标原点，以东向方向为x轴，以垂直对岸的方向为y轴建立直角坐标系如图所示．
货船从码头A航行到货站C的最短路径要求合速度方向由A指向C．
设货船在静水中的速度为AQ→=(x,y)，水流速度为4?km/?向东，即
合速度为水流速度与船速的矢量和：AR
由题意，合速度方向与向量AC=(?0.6,0.8)同向，且大小为5km