第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年陕西省榆林市高一下学期4月全国名校期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是(????)
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(????)
A.a=b B.a=?b C.
3.复数z=m2?1+(m+1)i(i是虚数单位，m∈R)是纯虚数，则m=
A.1 B.?1 C.1或?1 D.0
4.已知a=25，b=(1,2)，且a//b
A.(2,4) B.(?2,?4) C.(2,?4)或(?2,4)
5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是(????)
A.AB=2
B.A′D′=22
C.四边形ABCD的周长为4+22+23
D.
6.在△ABC中，AB=1,AC=5,cosA2=
A.42 B.30 C.
7.已知复平面内复数z1对应的点为Z1，复数z2对应的点为Z2，O
A.若Z1与Z2关于实轴对称，则：z1+z2为实数
B.若Z1与Z2关于实轴对称，则z1?z2
8.如图，在?ABC中，AD⊥AB，BC=
A.23 B.32 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M是棱B1C
A.6+2 B.25
10.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是(????)
A.若z?z=0，则z∈R
B.若z(1+i)=2，则z=2cos?7π4+isin?7π4
C.若|z
11.已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2，则下列结论正确的有(????)
A.△ABC面积的最大值为3
B.bcosA+acosB=2
C.△ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足3z+i=6?2i，则z2
13.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成(如图1)，也可由正方体切割而成(如图2).在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为??????????．
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAFλ,μ∈R，则λ+μ的值为??????????；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP?AB的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知一个圆锥的底面半径为R，高为?，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值．
16.(本小题15分
已知a、b满足a?2b=(4
(1)设a，b的夹角为θ，求sinθ
(2)若a//c(c
17.(本小题15分)
设实部为正数的复数z，满足|z|=10，且复数
(1)求复数z；
(2)若z+m?i1+
18.(本小题17分)
(1)A，B，C，D是球O的球面上四点，AB=AC=BC=3，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为3
(2)已知正四棱台ABCD?A1B1C1
19.(本小题17分)
如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，OA=2cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α．
(1)当α=π3时，求四边形OACB的周长；
(2)克罗狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC．
(3)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．
参考答案
1.B?
2.C?
3.A?
4.D?
5.D?
6.A?
7.C?
8.D?
9.ABC?
10.AC?
11.AC?
12.5?
13.2
14.2
15.解：(1)过圆锥及内接的圆柱的