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2024-2025学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量a=(4,2)，b=(m,?1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则a?
A.2 B.?10 C.?6 D.0
2.已知i为虚数单位，若复数(a+i)2i为正实数，则实数a的值为
A.2 B.1 C.0 D.?1
3.已知函数f(x)=cos(2x+π4)，将y=f(x)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|
A.3π4 B.3π8 C.5π16
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若任意x1，x2∈[0,+∞)且x1x2时，f(x1)?f(
A.[?6,0] B.[0,1] C.[?3,2] D.[?2,2]
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数f(x)=1x2的导数f′(x)=
6.已知i为虚数单位，复数z满足z=2i，则z?=
7.若sinθ=23，则cos(θ+π
8.已知全集U={x|y=log2x}，A=[1,5]
9.已知向量a=(1,3)，b=(2,?4)，则a在b上的数量投影是______．
10.若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为______．
11.已知向量a=(?2,3)，点A(2,?1)，若向量AB与a方向相同，且|AB|=213
12.若关于x的方程x2?x+m=0的一个虚根的模为2，则实数m的值为______．
13.若函数f(x)=2x(x+a)?1在区间(0,1)上有零点，则实数a
14.在△ABC中，过中线AD的中点E作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若AM=xAB，AN=yAC(x0,y0)
15.设z1，z2∈C且z1=iz2
16.若对任意的x∈R，存在θ∈(0,π2)满足不等式|x+1|+|x?a|≥1sin
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=log2(4x+1)?kx是偶函数．
(1)求k的值；
18.(本小题14分)
已知复数z1=a+2+(a2?3)i,z2=2?(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位)．
(1)若复数z1?z2?在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)设a=1
19.(本小题14分)
设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知C=π3，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0．
(1)求角A的大小；
(2)如图，D是BC延长线上的一点，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=4.过点P分别作直线CA，CD的垂线PM，PN，垂足分别是M，N.设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=sinx?cosx．
(1)求方程f(x)=cos2x在[0,π]上的解集；
(2)设函数F(x)=f(x)+2lnx；
①证明：y=F(x)在区间(π4,π2)上有且只有一个零点；
②记函数
21.(本小题14分)
对于一组向量a1,a2,a3,?,an(n∈N,n≥3)，记Γn={a1,a2,a3,?an}，令Sn=a1+a2+a3+?+an，如果存在ap(p∈{1,2,3,?,n})，使得|ap|≥|Sn+kap|,(k∈Z)，那么称ap是Γn的“k向量”．
(1)设an=(n,x?n)，n∈N且n0，若a3是Γ3的“?3向量”，求实数x的取值范围；
(2)若an=(sinnπ
参考答案
1.B?
2.D?
3.D?
4.A?
5.?2
6.2i?
7.?2
8.(5,+∞)?
9.?
10.1?
11.(?2,5)?
12.4?
13.(?1
14.54
15.[0,4
16.{a|a≥3或a≤?5}?
17.解：(1)因为f(x)=log2(4x+1)?kx是偶函数，且定义域为R，
所以f(?x)=f(x)恒成立，
即log2(4?x+1)+kx=log2(4x+1)?kx，
则2kx=log2(4x+1)?log2(4?x+1)=log21+4x1+4?x=log24x
18.解：(1)由复数z1=a+2+(a2?3)i，z2=2?(3a+1)i，
得z2?=2+(3a+1)i，则z1?z2?=a+(a2?3a?4)i，
第一象限需满足：a0a2?3a?40，解得?a4．
则实数a的取值范围是(4,+∞)；
(2)当?a=1?时，点?A(3,?2)，B(2,?4)，OA=(3,?2),OB=(2,?4)，