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2024-2025学年上海市南洋模范中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=?x(x+1)(x?3)≤0,B=?3,?
A.?2,?1 B.?1,1,2,3 C.1,2
2.函数f(x)=ax+1x(a∈
A. B.
C. D.
3.定义运算：a?b=ba≤baab，对于函数f(x)和g(x)，把函数|f(x)?g(x)|在闭区间[a,b]上的最大值称为
A.1?22 B.22
4.已知平面向量a，b，e，且e=1，a=2.已知向量b与e所成的角为60°，且b?te≥b?e
A.3+1 B.23 C.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若sinα=223，α∈
6.四边形ABCD为菱形，其中∠ABC=120°，AB=1，则BC?
7.已知点P(1,3)是角α终边上一点，将角α的终边逆时针旋转π2得到角β，则sinα?cosα
8.若函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=π6对称，则实数
9.已知y=f(x)的表达式为f(x)=Asin(2x+φ)(A0,0≤φ2π)的部分图象如图，则f(0)=
10.已知tanα,tanβ是方程x2?3x?3=0的两个实数根，则
11.已知α+β=3π2，tanα+tanβ=2
12.在?ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，且b2+c2
13.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC中点，连接AE.将?ABE沿AE折叠，点B落在点F处，则sin∠DAF的值为??????????．
14.函数f(x)=?ln1+ax2?2x是定义在R上的奇函数，且关于x的不等式f2m?m
15.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时满足f(x)=4cosxsin(x+π6)?1,0≤x≤π612x?
16.设函数f(x)=a1?sin(x+α1)+a
下列所有正确命题的序号是________??????????__．
①若f(0)=f(π2)=0，则f(x)=0
②若f(0)=0，则函数f(x)为奇函数；
③若f(π2)=0
④当f2(0)+f2(π
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分
已知a，b的夹角为60°，且a=1,b
(1)若m⊥n，求实数
(2)若m//n，求实数
(3)t=2时，求m与n的夹角的余弦值．
18.(本小题14分
设函数y=f(x)的表达式为f(x)=sin
(1)求函数y=f(x)在x∈
(2)将函数y=f(x)的图像向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，函数?(x)=f(x)+g(x)，当x1,x2∈π4
19.(本小题14分
在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为α，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为β，然后计算出国贸中心的高度(如图)．
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a1米；②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度(如图
实际操作中，第一小组测得s=90米，α=42°，β=48°，最终算得国贸中心高度为H1；第二小组测得a1=1.45米，a=12米，a
(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42°≈0.9，tan
(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由．
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=sin
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若af12x?π6
(3)已知函数g(x)=fπ8x?π3.记方程g(x)=13
21.(本小题14分
已知函数y=f(x)的定义域为D，若存在区间[m,n]?D，满足yy=f(x),x∈[m,