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2024-2025学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(????)
A.y=sinx B.y=sin2x C.
2.在?ABC中，D为BC的中点，若AC=a，CB=b，则
A.a?12b B.12a
3.下列命题中正确的是(????)
A.若α∈?π2,π2且x2x10，则x2x1sinα1
B.若α
4.在平面直角坐标xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点Px0,y0，且|OP|=r(r0)，定义
①该函数的值域为?2,
③该函数的图象关于直线x=34π对称；④
其中正确的个数是(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.化简向量运算：AB+BC+CD
6.在?ABC中，若sin2A=sin2
7.已知圆心角为π6的扇形面积等于3π，则该扇形的半径为??????????．
8.已知tanα=12，则sinα?
9.已知a=(2,1),b=(3,4)，则b在a方向上的投影为
10.已知向量a=cosθ,sinθ，b=1,
11.已知奇函数f(x)的一个周期为2，当x∈(0,1)时，f(x)=cosπx3，则
12.已知平面向量a=(1,2)，b=(3,?2)，c=a+3b，d=ka+
13.设函数f(x)=sinωx?π6+k(ω0)，若f(x)≤fπ3
14.已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM?PN的取值范围是??????????．
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题16分)
已知cosα=?3
(1)求cos2α
(2)若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点(3,?1)，求tan
16.(本小题16分
已知向量a，b满足a=5，b=4，
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求2a+
17.(本小题16分
如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图.其中AB=4百米，BC=3百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=
(1)若AN=CM=2百米，判断ΔDMN是否符合要求，并说明理由；
(2)设∠CDM=θ，写出ΔDMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．
18.(本小题16分)
已知函数f(x)=2cos
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若函数?(x)=fπ?x，求函数
(3)若函数f(x)+k?1=0在区间π6,π2
19.(本小题16分
定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数
(1)设?(x)=2sinx?π6(x
(2)已知?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量ON=32,?12的相伴函数为
(3)已知D(?2,3)，E(2,6)，f(x)为(2)中的函数，φ(x)=2fx2+2π3，请问在y=φ(x)的图像上是否存在一点P，使得
参考答案
1.B?
2.D?
3.C?
4.B?
5.0?
6.直角?
7.6?
8.?1
9.2
10.3．?
11.?
12.?19,1
13.2?
14.[8,12]?
15.解：(1)∵cosα=?35
∴cos2α=2
(2)由题意，tanβ
由(1)知，tanα=
则tan(α?β)=
16.解：(1)∵a+b⊥b
∴a
∴5×
∴cos
(2)由(1)知a?
∴2
∴2
?17.解：(1)由题意MN=5，DN=
所以cos∠
所以∠MDN≠π4
(2)∵∠CDM=θ，
所以DM=4cos
S=1
∵cos
=
=
所以S≥122?1，S
?18.解：(1)因为f(x)=cos
所以T=2
(2)?(x)=fπ
由?π2+2k
所以函数?(x)的单调递减区间为?π
(3)由f(x)+k?1=0得sin2x?
当x∈π6
所以12
作出函数y=sin2x?π
??
由函数y=sin2x?π
得12?k1，即?1
?19.解：(1)?(x)=2sinx?
所以函数?(x)的相伴向量OM=
(2)由题知f(x)=32sinx?
又因为2B?π6∈?π
又因为b=3，由正弦定理asin
即a+c=2
=3sinA+3cos
所以当A?π3=0，即A=π3
即a+c的最大值为23，最小值大于