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2024-2025学年四川省眉山市眉山中学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(?1,2),b=(x,4)，且a⊥b
A.8 B.2 C.4 D.1
2.已知α为锐角，且tanα=3sinα，则cos
A.?79 B.?13 C.
3.已知点A(1,3),B(4,?1),则与AB同方向的单位向量为
A.35,?45 B.45
4.已知函数f(x)=sin2x向左平移π6个单位后，得到函数y=g(x)，下列关于y=g(x)
A.图象关于点(?π3,0)中心对称 B.图象关于x=?π6轴对称
C.在
5.在?ABC中，三个内角A,B,C所对的边为a,b,c，若S?ABC=2
A.27 B.23 C.
6.如图，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为(????)
A.2 B.534?2 C.
7.如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)的部分图象与坐标轴的三个交点分别为P(?1,0)，Q，R，且线段RQ的中点M的坐标为3
A.1 B.?1 C.62
8.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，BN
A.1 B.87 C.97
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.?ABC是边长为3的等边三角形，CD=2DB，则下列说法正确的是
A.AD=13AB+23AC B.AD?=
10.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列结论正确的是(????)
A.若a2+c2?b20，则?ABC为锐角三角形
B.若?ABC为锐角三角形，则sinAcosB
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有(????)
A.AG?BC=4 B.AO?BC=?
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,1)，b=(1,?1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数
13.在边长为2的菱形ABCD中，M为BC的中点，AB?BC=2，点P在线段AB上运动，则PM?PC
14.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=2，A=3π4，若λb+c有最大值，则实数λ
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
在?ABC中，tanA=1
(1)求角C的大小；
(2)若?ABC的最长边的边长为34，求?
16.(本小题15分
在锐角?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2a
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求?ABC周长的取值范围．
17.(本小题15分
某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点P在地面上的投影H位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30?m的A，B两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据．
方案一：从A，B两点分别测得点P的仰角θ1和θ2，再从B点测得∠PBA.其中sinθ1
方案二：从点A处测得∠PAB，从点B处测得∠PBA和点P的仰角θ2.其中cos∠PAB
方案三：从点P处分别测得点A和B的俯角θ1和θ2，以及∠APB.其中sinθ1
从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度PH的方案，并根据该方案中的数据计算出PH的长.(注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据.如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分.)
18.(本小题17分)
如图，已知?ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，点I是?ABC的内切圆圆心(即?ABC三条内角平分线的交点)，直线AI与BC
??
(1)设AD=mAB+nAC，求
(2)求线段AI的长．
19.(本小题17分)
已知向量a=(sinωx,cosωx)，b=(cosωx,
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求函数y=f(x)在[0,
(