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2024-2025学年四川省眉山中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(?1,2)，b=(x,4)，且a⊥b，则
A.12 B.2 C.4 D.
2.已知α为锐角，且tanα=3sinα，则cos2α=(????)
A.?79 B.?13 C.
3.已知点A(1,3)，B(4,?1)，则与向量AB同方向的单位向量为(????)
A.(35,?45) B.(
4.已知函数f(x)=sin2x向左平移π6个单位后，得到函数y=g(x)，下列关于y=g(x)的说法正确的是(????)
A.图象关于点(?π3,0)中心对称 B.图象关于x=?π6轴对称
C.在区间[?5π
5.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=23，a+b=6，acosB+bcosAc
A.27 B.23 C.
6.如图，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为(????)
A.2 B.534?2 C.
7.如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)的部分图象与坐标轴的三个交点分别为P(?1,0)，Q、R，且线段RQ的中点M的坐标为(32,?12)
A.1 B.?1 C.62
8.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，过点G的直线分别与射线BA，BC交于点M，N，BM=λBA，BN
A.1 B.87 C.97
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC是边长为3的等边三角形，CD=2DB，则下列说法正确的是
A.AD=13AB+23AC B.AD=
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(????)
A.若a2+c2?b20，则△ABC为锐角三角形
B.若△ABC为锐角三角形，则sinAcosB
C.若sin2A=sin2B，则△ABC
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有(????)
A.AG?BC=4 B.AO?BC=?6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,1),b=(1,?1)，且a与a+λb
13.在边长为2的菱形ABCD中，M为BC的中点，AB?BC=2，点P在线段AB上运动，则PM
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，A=3π4，若λb+c有最大值，则实数
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，tanA=14，tanB=35．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的最长边的边长为
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求△ABC周长的取值范围．
17.(本小题15分)
某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度.建筑物最高点P在地面上的投影H位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距30m的A，B两点进行测量.有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据．
方案一：从A，B两点分别测得点P的仰角θ1和θ2，再从B点测得∠PBA.其中sinθ1=34，sinθ2=23，cos∠PBA=712．
方案二：从点A处测得∠PAB，从点B处测得∠PBA和点P的仰角θ2.其中cos∠PAB=?1332，cos∠PBA=712，sinθ2=23．
方案三：从点P处分别测得点A
18.(本小题17分)
如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，点I是△ABC的内切圆圆心(即△ABC三条内角平分线的交点)，直线AI与BC交于点D．
(1)设AD=mAB+nAC，求m和n的值；
(2)求线段
19.(本小题17分)
已知向量a=(sinωx,cosωx)，b=(cosωx,3cosωx)，其中ω0，函数f(x)=a?