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2024-2025学年四川省仁寿第一中学校南校区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若1?2i=a+bi(i为虚数单位)，其中a，b为实数，则
A.1 B.3 C.?1 D.?3
2.已知力F的大小F=10，在F的作用下产生的位移s的大小为s=14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(????)
A.7 B.10 C.14 D.70
3.2sin45°cos
A.?2 B.?13 C.?1
4.复数2?i?i在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知向量a=(0,10)，b=(1,3)，则a在b上的投影向量的坐标为(????)
A.(9,3) B.(?9,?3) C.(3,9)
6.cos15°=
A.6?24 B.6
7.若1+tanα1+tanβ
A.0 B.12 C.1 D.
8.已知M是ΔABC内的一点，且AB?AC=23,∠BAC=30°，若ΔMBC,ΔMCA
A.20 B.18 C.16 D.9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是(????)
A.向量AB与向量BA的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
10.为了得到函数f(x)=sin3x?π6的图象，只需将函数g(x)=
A.所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度
B.所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度
C.向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变
D.
11.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有(????)
A.若AB，则sinAsinB
B.a=23,c=2,A=2π3，则b=4
C.若acosB?b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(1,3),B(4,?1)，求与向量AB方向相同的单位向量为??????????．
13.已知i是虚数单位，复数z和(z+2)2?8i均为纯虚数，则|z+3|=
14.如图，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|AB+FE+CD|
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,3),
(1)若a⊥b，求
(2)若a//b,
(3)若向量c=(1,?1)，若a+
16.(本小题15分
如图，在平面直角坐标系中，OA=2AB=4，
(1)求点B,C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
17.(本小题15分)
在ΔABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m=(a,sinC?sin
(1)求角C的大小
(2)若c=3，求ΔABC的周长的取值范围．
18.(本小题17分
如图所示，在?ABO中，OC=14OA，OD=12OB，AD
(1)试用向量a,b表示
(2)过点M作直线EF分别交线段AC,BD于点E,F，记OE=λOA，OF=μOB，求证：不论点E,F在线段AC,BD
19.(本小题17分)
已知f(x)=3sinωx
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；
(2)若函数f(x)在区间0,π2
(3)若f(x)在0,π6上最小值为1，求使不等式f(x)≥0成立的x
参考答案
1.C?
2.D?
3.D?
4.A?
5.C?
6.B?
7.C?
8.B?
9.ACD?
10.AC?
11.ACD?
12.35
13.13
14.2?
15.解：(1)因为a⊥b，所以a?b=0
故b=(6,?2)
(2)因为a//b，所以x=3×6=18，则
(3)a+b
若a+b与b?c共线，则5×
故a?
16.解：(1)设B(x,y)，则x=OA
y=AB
∴B
∴OC
∴C
(2)证明：连接OC，
∵OC=3,3
∴OC=3AB，∴
又OA=4，BC
∴OA
∴四边形OABC为等腰梯形．
?
17.解：(1)由向量m=(a,sinC?sinB)
得：a(
由正弦定理，得：a(a+b)=(b+c)(c?b)
化为：a2+b
所以，C=2π
(2)因为C=2π3，所以，B=π3?A
由正弦定理，得：asin
ΔABC的周长为：a+b+c=2
=2
由0Aπ3
所以，周长2
?18.解：