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2024-2025学年浙江省余姚中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(1,2)，b=(x,?4)，且a→/\!/
A.?2 B.2 C.?8 D.8
2.已知i为虚数单位，若复数z=4?m2?(m?2)i为纯虚数，则实数
A.0 B.2 C.?2 D.4
3.已知a，b，c是非零向量，则“a=b”是“a?b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC=4EC，点F是线段DE的中点，若AF=λAB+μ
A.54 B.1 C.78
5.如图，?O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中∠O′
A.4 B.42 C.4
6.在锐角?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b?2c=acosC?2acosB
A.13 B.12 C.1
7.在?ABC中，A=π6，BC=2，若满足上述条件的?ABC恰有一解，则边长AC
A.(0,2) B.(0,2] C.
8.已知三棱锥P?ABC的外接球的球心为O,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=4,PA=2，则球心O到平面PBC的距离为
A.13 B.63 C.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α//β的是(????)
A.m//α，m//β B.m⊥α，m⊥β C.
10.在?ABC中，AC=25,tanA=2，向量AC在向量AB
A.边BC上的高为32 B.sinC=31010
C.
11.如图，已知圆台的轴截面为ABCD，其中AB=3CD=63,AD=4,M为圆弧AB的中点，DE=2EA，则
A.圆台的体积为26π
B.圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为π3
C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为83
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，复数z=3+4i，则z的虚部是??????????．
13.已知在Rt?ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4,P是斜边AB的中点，则
14.如图，某山的高度BC=300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度PQ为??????????m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知i为虚数单位．
(1)若复数z满足1z=i
(2)计算1+i1?
16.(本小题15分
在?ABC中
(1)若AC=23,
(2)若D为边BC上的点且AD平分∠BAC,AD=
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱长均为
(1)求证：BC1//
(2)求异面直线A1D与B
18.(本小题17分)
如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P是线段BE上的动点(不含端点)．
(1)求证：平面ACP⊥平面ABF
(2)求二面角A?BC?F的平面角的余弦值；
(3)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为32114时，求
19.(本小题17分
在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=2,AB⊥BD，将?BCD沿BD翻折至?
(1)若AP=AD，
(i)证明：AB⊥平面BPD
(ii)求三棱锥P?ABD的体积；
(2)求直线AP与平面ABD所成角的正切值的最大值．
参考答案
1.A?
2.C?
3.A?
4.C?
5.C?
6.D?
7.D?
8.B?
9.BC?
10.ABC?
11.ABD?
12.4?
13.10?
14.200?
15.解：(1)由题可得z+1=zi
所以z=1
则|z|=
(2)原式=(1+
16.解：(1)法1:由余弦定理可知(3
∴c2
由正弦定理知：c
法2:因AC=23
∵ACBC,∴B
18=
∵
∴
1
∴
由①②得∴
∴
17.解：(1)连接AC1交A1
在直三棱柱ABC?A1B
因此四边形AA1C1C是正方形，所以O是A
因此有OD//BC1，而OD?平面A
所以BC1//
(2)由(1)可知：OD//
因此异面直线A1D与BC1所成角为
因为AA1C
在直三棱柱ABC?A1B
因此四边形BB1C
在直三棱柱ABC?A
因此有A1
由