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福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（????）
A． B． C． D．
2．数列中，，，则的值为（???）
A． B． C．5 D．
3．已知函数的导函数为，且，则（???）
A． B． C． D．
4．用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（???）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
5．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（????）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为为抛物线上的两点，满足，线段的中点为到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（?????）
A． B． C． D．
8．已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的最大值为（?????）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．在8件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有（）
A．“其中恰有2件次品”的取法有6种 B．“其中恰有1件次品”的取法有15种
C．“其中没有次品”的取法有20种 D．“其中至少有1件次品”的取法有30种
10．如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（????）
A．点到平面的距离为
B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（????）注：为自然对数的底数，，．
A．有最小值，且最小值为整数
B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C．恰有两个极值点
D．恰有三个零点
三、填空题
12．动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为．
13．过点且曲线相切的直线的方程为.
14．已知函数，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，则当h(x)恰有一个零点时，实数a的取值范围为
四、解答题
15．在等比数列中，公比，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的取值集合．
16．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本；
(2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；
(3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
17．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．
18．在平面直角坐标系中，，，为一个动点，且直线，的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知，，点是上的一点，设为的重心，过点作垂直于轴的直线，求被分成的左、右两个部分图形面积之比的取值范围．
19．设函数
(1)当时，若在存在，使得不等式成立，求的最小值.
(2)若存在且，使得，求实数的取值范围.
（参考数据）
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《福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
B
D
A
C
A
BD
ABD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】利用空间向量的线性运算求解.
【详解】，
.
故选：C
2．D
【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得.
【详解】在数列中，，
则，
因此数列是周期数列且周期为3，由，得，
所以.
故选：D
3．B
【分析】对函数表达式同时求导并令解方程即可求得结果.
【详解】由可得，