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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三下学期月考（七）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（????）
A． B． C．1 D．2
2．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台和正六棱锥P-ABCDEF组合而成，其中若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA?的长度为（????）
A．1 B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为
A．26 B． C．52 D．
5．定义，设函数，若在区间上单调递减，则ω的取值范围为（????）
A．
B．
C．
D．
6．如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列为：，记事件A：，且互不相同；事件B：为“局部等差”数列，则条件概率（????）
A． B． C． D．
7．定义：若存在n个正数，使得，则称函数为“n阶奇性函数”.若函数是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（????）
A．14 B．15 C．16 D．18
二、多选题
9．无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（????）
A．， B．，
C．， D．，
10．在平面直角坐标系中，已知点，若将点绕原点按顺时针旋转弧度，得到点，记，，则下列结论错误的有（????）
A．
B．不存在，使得与均为整数
C．
D．存在某个区间，使得与的单调性相同
11．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段上．下列命题正确的是（????）
A．存在点P，使得直线∥平面ACF；
B．存在点P，使得直线平面ACF；
C．直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
D．三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是．
三、填空题
12．若直线过点，则的最小值为．
13．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为．
14．若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为.
四、解答题
15．众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
14
20
37
74
108
203
(1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．如图，在三棱柱中，平面平面，.
(1)证明：；
(2)若是正三角形，，求二面角的大小.
17．如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
(1)若为的焦点，求证：；
(2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
18．已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若正实数a，b满足证明：
19．对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列.
(1)已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由；
(2)若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值