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湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高二下学期第一次学情检测（3月）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，则（????）
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为（????）
A． B． C． D．
3．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型（其中e＝2.71828…）拟合，设，得到数据统计如下表：
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
x
1
2
3
4
5
y
m
11
20
36.6
54.6
z
n
2.4
3
3.6
4
由上表可得回归方程，则m的值约为（????）
A．2 B．7.4 C．1.96 D．6.9
4．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（????）
A． B． C． D．
5．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据：
7天内未痊愈
7天内痊愈
对照组
30
170
实验组
20
280
根据表格数据，下列结论正确的是（????）
参考公式及数据：，其中．
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关
B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关
C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关
D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关
6．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学?中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金?木?水?火?土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（????）
??
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意的，，，都有成立，则实数k的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个命题中正确的是（???）
A．已知事件相互独立，，，则
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知，，，则
10．已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（????）
A．若，则
B．若，则无最值
C．
D．在处的切线的斜率大于
11．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点（异于坐标原点），则下列说法正确的是（???）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若直线过点，则的最小值为
C．若直线的斜率为2，且，则
D．若，则直线过定点
三、填空题
12．现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是.
13．已知向量，，则的最大值为
14．已知正实数满足，则．
四、解答题
15．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，求证：.
16．如图，在三棱锥中，为棱上一点，，且，．
(1)证明：平面；
(2)求四面体的外接球的体积；
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．
17．甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲得1分；如果甲输而乙赢，甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，