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江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（????）
A． B． C． D．
2．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类．现有3名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种，则不同的选购方式有（????）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．已知函数的导函数为，且，则（????）
A． B． C． D．
4．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（????）
A．36个 B．48个 C．60个 D．42个
5．已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（????）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
7．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列等式正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．若，为正实数，且，则下列不等式中一定成立的是（????）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（????）
A．是函数的一个极大值点
B．函数的对称中心为
C．过点能作两条不同直线与相切
D．函数有5个零点
三、填空题
12．已知函数，则．
13．某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为．
14．若函数有三个极值点，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
16．2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域．报告显示，中国在其中19个领域处于领先．某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍．
(1)在最后2天介绍的方法有多少种？
(2)相隔一天介绍的方法有多少种？
(3)必须相邻且均不与相邻的介绍方法有多少种？
17．已知，．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知，．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，若的图象始终在图象的上方，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设，，，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求证：．
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《江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
C
B
A
C
B
BCD
ABD
题号
11
答案
BD
1．D
【分析】根据导数的物理意义直接求解即可.
【详解】，
当时，，
即该物体在时的瞬时速度是.
故选：D.
2．B
【分析】每人均有4种不同的选法，由分步计数原理可求不同的选购方法数.
【详解】由题意可知每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种均有4种方法，
由分步乘法计数原理可得不同的选选购方式有种.
故选：B.
3．D
【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果.
【详解】由可得，
令可得，即.
故选：D
4．C
【分析】特殊元素特殊位置，分两类，末位为0和末位为2或4，再利用排列组合知识即可.
【详解】末位为0：个
末位为2或4：个，共个
故选：C
5．B
【分析】由题意可知，在点的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设，因为，则，由题有，
解得或（舍），所以，
此时到直线的距离为，
故选：B.
6．A
【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．
【详解】函数y=的导数为，
令y′=0，得x=，
时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．
∴