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浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数是（???）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知向量，若反向共线，则实数的值为（????）
A． B．3 C．3或 D．或7
3．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（????）
A．511 B．61 C．41 D．9
4．设是锐角，，则（???）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“”的（???）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（???）
A． B． C． D．2
7．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
8．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩与文科班女生的成绩均服从正态分布，且，则（????）
A． B．
C． D．
10．如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（???）
A．存在点P使得 B．直线与点P的轨迹有公共点
C．点P运动轨迹长为 D．三棱锥P-BCD体积最大值为8
11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是(????)
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的最大值为－1
C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为
三、填空题
12．已知复数z满足，则．
13．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为.
14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.
四、解答题
15．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
16．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17．已知实数，设．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.
19．对于无穷数列，，，，，我们称为数列的生成函数.生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程的非负整数解的个数为，则为展开式中前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数并化简；
(2)证明：；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最终分数.计分规则如下：通过第大项中的每一个小项，都可获得分，通过第十一项中的每一个小项，可获得1分.记为总分为n分的所有得分组合数，求．
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《浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
C
B
D
C
C
AC
AC
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】先计算一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义计算求解.
【详解】集合，
则元素的个数是3个.
故选：A.
2．A
【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可.
【详解】因为，所以.
因为共线，所以，解得或.
又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去.
而满足