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重庆市南开中学校2024-2025学年高三下学期第七次质量检测（3月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合,，则集合的真子集个数为（????）
A．3 B．5 C．7 D．15
2．若为第二象限角，则（????）
A． B． C． D．
3．设为非零向量，则“存在，使得”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在等比数列中，若，则（????）
A．1 B．9 C．1或9 D．或9
5．已知随机变量的分布列如下：
2
3
5
若，则（????）
A． B． C． D．
6．若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（????）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，若函数是奇函数，．记的导函数为，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为80，82，83，84，85，86，88，则（????）
A．根据样本数据，估计这次考试全班成绩的上四分位数为86
B．根据样本数据，估计这次考试全班成绩的标准差为6
C．当该样本中加入一个84形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差
D．若该班成绩服从正态分布，用这7名同学的成绩估计总体，则有
10．如图1，在中，分别在上，且．将沿翻折得到图2，其中．记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（????）
A．平面
B．直线与所成角的正切值为
C．
D．
11．已知正数满足，则下列不等关系正确的有（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．直线被圆截得的弦长为．
13．某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到5个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有种．
14．如图，边长为的一组正三角形的底边依次排列在轴上，其中与坐标原点重合．若所有正三角形顶点在第一象限，且均落在抛物线上，则第个正三角形的边长．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，，，，，二面角大小为．
(1)求的长度；
(2)证明：平面．
16．2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌．其中表演的机器人出自宇树科技，宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司．该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人UnitreeA1具备较强的负载能里和环境适应性，可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援．现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示：
月份
2
3
4
5
6
销量
42
53
66
109
用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差．
(1)求的值(结果精确到0.1)；
(2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差．
附：回归系数，相关系数．
17．已知函数，若，且对都有．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且过点有3条直线与函数的图象相切．求的取值范围．
18．如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点．
??
(1)证明：直线是抛物线的切线；
(2)若点是抛物线上异于点的动点，，分别在线段，上，且，交于点．
①证明：点是的重心；
②若直线过点，求的最小值．
19．一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角，我们称叫做复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算．如：，
(1)若复数，求复数的实部和虚部；
(2)利用复数的三角形式计算：的值；
(3)若复数满足，记复数证明：且．
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