2025年北京市西城区高三上学期期末数学试卷
本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，那么集合（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出两集合，再利用交集含义即可.
【详解】或，，
则.
故选：C.
2.设为虚数单位，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数相等求解即可.
【详解】
又，根据复数的相等，
故则
故选：B.
3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义：对于任意实数，都有.然后分析每个函数的值域判定即可.
【详解】对于函数，定义域为R，，而.
因为，所以该函数不是奇函数.对于值域，
因为的值域为，所以的值域为R.故A错误.
对于函数，定义域为R，，
所以该函数是偶函数，不是奇函数，故B错误.
对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.
对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R.故C错误.
对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.
对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；
并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R.
故选：D.
4.在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再结合二倍角公式，即可求解.
【详解】由条件可知，,
所以，，所以.
故选：A
5.过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求．
【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心.
过圆心与点的直线的斜率为.
当直线与垂直时，取得最小值，
故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
故选：C．
6.在中，则“”是“是直角三角形”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的判定和向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【详解】，则，因为在中，
则，则，则，则是直角三角形，则充分性成立；
反过来若“是直角三角形”，则不一定是，
比如，则，则，则，则必要性不成立，
则“”是“是直角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
7.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意.
故选：B
8.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.
【详解】依题意，，则，
由、，得，
所以.
故选：A
9.若实数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断.
【详解】由条件可知，，，
所以，当时，即时等号成立，故AB错误；
，
当，即时，等号成立，
所以，故C错误，D正确.
故选：D
10.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（）
A.是平行四边形，且周长为
B.是平行四边形，且周长为
C.是等腰梯形，且周长为
D.是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【解析】
【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长.
【详解】分别取的中点，连接，
则∥∥，∴四点共面
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段；
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面