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2025北京中关村中学高一（下）期中
数学
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.－240°是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知角的终边经过点，则的值为（）
A. B. C. D.
3.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（????）
A. B. C. D.
4.向量，，则（????）
A.4 B.8 C. D.16
5.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.若向量，，且，则的值为（????）
A. B. C. D.
7.如图，在中，点满足，.若，则（）
A. B. C. D.
8.函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是（）
A.先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍
B.先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的
C.先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位
D.先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位
9.若函数的部分图象如图所示，则的值是（）
A. B. C. D.
10.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断：
①函数是周期函数，最小正周期为；
②函数的值域为；
③函数在区间上单调递增.
其中判断正确的个数是（）
A.3 B.2 C.1 D.0
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11.___________.
12.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为________．
13.已知向量，，若，则______，若存在实数m，使得方向相反，则t的取值范围为______.
14.若P为所在平面内一点，且，则的形状为______.
15.已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为___________.（写出一个即可）
16.已知，，其中表示不超过x的最大整数.
例如：，，
①______.
②若对任意都成立，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知向量，，点，若
（1）求与向量方向相同的单位向量的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）若点满足，求y与的值.
18.已知函数.
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值，并写出相应x的值.
19.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定的解析式；
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③；的图象经过点．
20.如图，在四边形中，是边长为2的等边三角形，点是边上的动点（不含端点）.
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值.
21.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒.
（1）当时，求点B绕转动的弧度数；
（2）分别写出，关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，；
（3）若函数，当时，恒成立，求a的取值范围.
22.已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
（1）设，直接写出的所有可能结果；
（2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
（3）设，求的聚数的所有可能结果．
参考答案
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【分析】根据角－240°的终边落在的象限进行判断即可.
【详解】因为－240°角的终边落在第二象限，所以该角为第二象限角.
故选：