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2025北京五中高二（下）期中
数学
班级_________姓名_________学号_________成绩_________
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在上为增函数的是（）
A. B. C. D.
3.在一个坛子中装有个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有个红球，个蓝球，个黄球，个绿球，现从中任取一球后（不放回），再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为（）
A. B. C. D.
4.若函数在处取最小值，则（）
A.1 B.2 C.4 D.2或4
5.设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（）
A. B.
C. D.
8.某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（）
A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
9.函数的定义域为_______．
10.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_________.
11.过坐标原点且与曲线相切的直线方程为__________．
12.投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则__________；函数取最大值时，__________.
13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
14.京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一，某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达
（1）某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；
（2）甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
15.已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且．
（1）求椭圆的方程及长轴长；
（2）已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由．
16.已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
1.【答案】C
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：C
2.【答案】B
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】对于A：在上不单调，故A错误；
对于B，因为，则，所以在区间上恒成立，
则函数在区间上为增函数，故B正确；
对于C，因为，则，
所以当或时，当时，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
则在区间上不单调，故C错误；
对于D，因为，则，当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
则在区间上不单调，故D错误．
故选：B
3.【答案】A
【分析】设第一次取出的是红球为事件，第二次取到黄球为事件，求出，，然后利用