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2025北京十五中高二（下）期中
数学
2025.04
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.若、、成等差数列，则（）
A. B. C. D.
2.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（）
A. B. C. D.
3.已知函数，为的导函数，则（）
A. B.
C. D.
4.在等比数列中，，若是，的等差中项，则（）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
6.袋中有6个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，若每次抽取后都放回，记为取到黑球的个数，则随机变量的方差=（）
A. B. C. D.
7.设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.?〢2.?〣3.?〤4.?〥5.?〦6.?〧7.?〨8.?〩9.?〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（）
A. B. C. D.
9.记为数列的前n项和.若，则（）
A.有最大项，有最大项
B.有最大项，有最小项
C.有最小项，有最大项
D.有最小项，有最小项
10.已知数列满足则（）
A.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C.当时，存在正整数，当时，
D.当时，对于任意正整数，存在，使得
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设函数，则___．
12.已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
0.4
p
0.4
则p＝___；D（X）＝___．
13.已知{}是公比为q的等比数列，其前n项和为．若，则q＝___．
14.若曲线在处的切线方程为，则___；___．
15.已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列.给出下列四个结论：
①数列不是等比数列;
②若与都是递增数列，则数列是递增数列;
③对任意的，不是等差数列;
④存在数列，对任意的，且，使得不能构成等比数列.
其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.已知曲线在点处的切线为.
（1）求切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
17.已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使不等式成立的的最小值；
（3）设，求数列的前项和.
18.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：
门店1
门店2
门店3
门店4
门店5
门店6
门店7
门店8
线下日营业额
9
6.5
19
9.5
14.5
16.5
20.5
12.5
线上日营业额
11.5
9
12
17
19
23
21.5
15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）
（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记