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2025北京清华附中高一（下）期中
数学
（高24级）2025.4
第一部分（选择题共40分）
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知函数，则在上的平均变化率为（）
A.1 B. C.3 D.4
2.已知，则与反向的单位向量为（）
A. B.
C. D.
3.在中，，，，则的面积为（）
A.6 B. C.3 D.
4.已知数列的前项和为，且，则（）
A.16 B.17 C.20 D.21
5.已知函数，“为奇函数”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知数列满足，，则（）
A. B.1 C.2 D.4
7.经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（）
A. B. C. D.
8.在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9.已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（）
A. B. C. D.6
10.在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足：
①，且；
②，有．
则该数表中的10个数之和的最小值为（）
A.26 B.22 C.20 D.0
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题，共5道小题，每小题5分，共25分．
11.曲线在点处的切线方程为___________.
12.能说明命题“若为第一象限角，，则”为假命题的一组的值为______．
13.在中，点在边上，，为边的中点，，则______，______．
14.在平面直角坐标系中，已知点，点在函数的图象上．
①若，则点的坐标为______；
②的取值范围为______．
15.已知数列为无穷项等比数列，为其前项和，，有下面四个结论：
①；
②
③对于任意的，
④存在正数，满足，使得恒成立
其中正确结论的序号为______．
三、解答题，共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.（1）在中，，求
（2）在等比数列中，前项和为，，，求公比
（3）已知，．
①若，则______；
②若，则______．
17.已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18.已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
19.在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
（3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
20.已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，，直接写出实数的取值范围；
（3）记坐标原点为，实数，点为图象上一点，函数的图象为直线．若，，求证：．
21.已知为无穷项整数数列，若对于任意的，，存在，，使得成立，称具有性质．
（1）分别判断下面两个数列是否具有性质，并说明理由；
①；②；
（2）已知具有性质，若，且对于任意的，恒成立，求证：；
（3）已知具有性质，当时，；且对于任意的，，，均不成等差数列．记，求证：存在，，使得且，，，成等差数列．
参考答案
第一部分（选择题共40分）
一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义求解即可.
【详解】由题设在上的平均变化率为.
故选：A
2.【答案】C
【分析】根据单位向量的定义及已知有与反向的单位向量为，即可得.
【详解】与反向的单位向量为.
故选：C
3.【答案】D
【分析】应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设.
故选：D
4.【答案】B
【分析】根据已知分别求出，进而可得，即可得.
【详解】由题设，
又，，则，
所以.
故选：B
5.【答案】B
【分析】根据正余弦函数的奇偶性及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】若为奇函数，则