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2025北京清华附中朝阳学校高二(下)期中
数学
(清华附中朝阳学校望京学校)2025年5月
一、单选题(每小题5分,共50分)
1.已知函数,则的值为()
A. B. C. D.
2.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.
若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为,,平均数分别为,,则()
A., B., C., D.,
3.五一放假,甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为()
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数,其图象如图所示,则以下选项中正确的是()
A.和是函数的两个零点
B.函数的单调递增区间为
C.函数在处取得极小值,在处取得极大值
D.函数的最大值为,最小值为
5.在的展开式中,若仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是第()项.
A. B. C.2或3 D.3或4
6.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼,某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为,则他第球投进的概率为()
A. B.
C. D.
7.唐老师有语文,数学等6本不同学科的练习册,平均分给3个同学,若甲同学不拿语文,则不同的分配方法数为()
A.360 B.180 C.90 D.60
8.已知函数,那么“”是“在上为增函数”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设函数是R上可导的偶函数,且,当,满足,则的解集为()
A. B. C. D.
【答案】C
10.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果,设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”,以下四个函数在上不是凸函数的是()
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题5分,共30分)
11.在的二项展开式中,常数项为________.(用数字作答)
12.已知随机变量服从标准正态分布,对实数,若,则___________.
13.某同学参加门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二?第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为:
0
1
2
3
则的值为___________;则的值为___________.
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万千克,每种植1千克莲藕,成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额(单位:万元)是,则要使利润最大,每年需种植莲藕______万千克.
15.在电影《哪吒之魔童闹海》中,哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试,需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻,且太乙真人不能站在两端,那么共有_______种不同的站法.
16.对于偶函数,下列结论中正确的是______
①函数在处的切线斜率为;
②,使得;
③若,则;
④若,都有成立,则m的最大值为.
三、解答题(共5个小题,满分70分)
17.在抗击新冠肺炎疫情期间,很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有:现场值班值守,社区消毒,远程教育宣传,心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务).参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如下表:
社区
社区服务总人数
服务类型
现场值班值守
社区消毒
远程教育宣传
心理咨询
A
100
30
30
20
20
B
120
40
35
20
25
C
150
50
40
30
30
(1)从上表三个社区的志愿者中任取1人,求此人来自A社区,并且参与社区消毒工作的概率;
(2)从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况,以X表示负责现场值班值守的人数,求X的分布列;
(3)已知A社区心理咨询满意率为0.85,B社区心理咨询满意率为0.95,C社区心理咨询满意率为0.9,“,,”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询满意,“,,”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询不满意,写出方差,,的大小关系.(只需写出结论)
18.已知函数.
(1)若函数在处取得极小值,求实数,的值;
(2)求在上的值域;
(3)已知,且函数的极大值是,讨论