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2025北京昌平高三二模
数学
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分选择题共40分．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知全集，集合，，则（）．
A. B. C. D.
2.若复数，则复数的共轭复数（）．
A. B. C. D.
3.若，则（）．
A. B.0 C.1 D.2
4.已知，，其中e为自然对数的底数，则（）．
A. B. C. D.
5.设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（）．
A., B., C., D.,
6.已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（）．
A.1 B.2 C.3 D.4
7.庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（）．
A. B. C. D.
8.设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（）．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（）．
A. B.-∞,-1∪1,+∞ C.（，
10.在数列中，，则（）
A.当时，对于任意的正整数
B.当时，存在正整数，当时，
C.当时，对于任意的正整数
D.当时，存在正整数，当时，
第二部分非选择题共110分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____．
12.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a?
13.已知将函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则常数的一个取值为_____．
14.如图，正方形的边长为1，点在直线上．D1A2是以点为圆心，为半径的圆弧，A2B2是以点为圆心，为半径的圆弧，B2C2是以点为圆心，为半径的圆弧，C2D2是以点为圆心，为半径的圆弧，D2A3是以点为圆心，为半径的圆弧，．．．，依次类推，其中点，共线，点，共线，点共线，点共线．则A3B3的长度为_____；由上述圆弧组成的曲线与直线恰有7个交点时，曲线长度的最小值为_____．
15.已知曲线，给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过；
③曲线与直线围成图形的面积小于5；
④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.在△ABC中，为锐角，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．
（1）求证：；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．
条件①：平面；
条件②：．
18.在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区间
初中生人
高中生人
4
3
38
29
48
28
17
6
3
假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．
（1）估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；
（2）从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明）
19.已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．
20.已知函数，其中．