第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2025北京北师大二附中高一（下）期中
数学
一、单选题（每小题4分，共40分）
1.函数的图象（）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称
2.已知，，则（）
A. B. C. D.
3.若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（）．
A. B. C. D.
4.在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（）
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图像如图所示，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
6.函数的图象（）
A.关于直线对称 B.关于点对称
C.关于原点对称 D.关于y轴对称
7.在中，，，则等于（）
A. B.－ C. D.－
8.某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（）
A. B. C. D.
9.已知向量，则夹角的取值范围是（）
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.求函数的图象与直线及轴围成的封闭图形的面积．
12.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
13.设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．
14.函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是__.
15.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.
三、解答题（共6小题，共85分）
16.用“五点法”画出函数的图像，并求出函数的单调性.
17.计算的值．
18.设，求的值.
19.如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.
20.如图，游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到C，现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留1min，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.
（1）求索道的长.
（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？
21.设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）当时，判断函数和是否具有性质？（结论不要求证明）
（2）若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集；
（3）已知函数具有性质，，且的图像是轴对称图形.若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的.
参考答案
一、单选题（每小题4分，共40分）
1.【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质可得.
【详解】可得是由向上平移1个单位得到，
根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称.
故选：B.
2.【答案】D
【分析】利用得到，再结合二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，则，
由二倍角公式得，故，故D正确.
故选：D
3.【答案】C
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．
【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
若函数在区间，上单调递增，
在区间，上，，，
则当最大时，，求得，
故选：C．
4.【答案】B
【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此，
故选：B
5.【答案】A
【分析】由图象确定出，由周期求出，然后由图象过点，求出，从而得到函数的解析式即可.
【详解】由图象可知，，所以，
故，所以，
由图象过点，所以，即，
所以，
由于，所以，
所以.
故选：A
6.【答案】C
【分析】由题意求出函数的定义域，化简函数的解析式，由正弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】由得：，
所以的定义域为：，
，
对于A，，所以关于点对称，故A错误；
对于B，，所以关于直线对称，故B错误；
对于C，D，为奇函数，所以的图象关于原点对称，故C正确；D错误.
故选：C
7.【答案】A
【分析】先求出，再利用及和角公式进行求解.
【详解】因为且，所以，
又，
所以.
故选：A
8.【答案】B
【分析】依题意作图,先求出，再求出，即得这栋小高层的高度.
【详解