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2025北京高二（上）期末数学汇编
一元函数的导数及其应用章节综合
一、单选题
1．（2025北京密云高二上期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（????）
A． B．
C． D．
2．（2025北京密云高二上期末）函数的导函数的图象如图所示，下列选项正确的是（????）
A．在区间上单调递减
B．是的极小值点
C．是的极大值点
D．曲线在处切线的斜率小于零
3．（2025北京密云高二上期末）已知函数，，则的解集为（????）
A． B． C． D．
4．（2025北京朝阳高二上期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（????）
A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
5．（2025北京朝阳高二上期末）已知函数，则（????）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2025北京密云高二上期末）若函数，则．
三、解答题
7．（2025北京密云高二上期末）已知函数，.
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：．
8．（2025北京密云高二上期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)求的极值．
9．（2025北京朝阳高二上期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
10．（2025北京五中高二上期末）已知函数.
(1)当时，求的零点个数；
(2)设，函数.
（i）判断的单调性；
（ii）若，求的最小值.
参考答案
1．B
【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果.
【详解】令则直线的斜率为
则.
故选：B.
2．C
【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项.
【详解】对于A，由图象可知，当时，，函数单调递增，故A错误；
对于B，由图象可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，故不是的极小值点，故B错误；
对于C，由图象可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，故是的极大值点，故C正确；
对于D，由图象可知，则曲线在处切线的斜率大于零，故D错误.
故选：C.
3．A
【分析】分别求出，，得到不等式，结合函数定义域，解出.
【详解】因为，定义域为，，定义域为，
所以，，
则，即，解得.
故选：A.
4．D
【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.
【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，
乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；
对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；
对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，
乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，
故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；
对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，
故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.
故选：D.
5．C
【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
6．/
【分析】对函数进行求导，进而代入计算即可得解.
【详解】因为函数，所以，所以，
故答案为：.
7．(1)在区间单调递减，在区间单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可.
（2）由（1）得，==，判断可知要证，即证，．令，利用导数判断函数的最小值，证得，即可求证.
【详解】（1）由，，
得．????
因为，令，所以．????
当时，，在区间单调递减；????
当时，，在区间单调递增．????
所以，在区间单调递减，在区间单调递增．
（2）由（1）得，==．
所以，要证，
只需证，即证，．
令，
则．
0
↘
极小值
↗
所以．????
因此，对于任意正数，恒成立．
所以当时，恒成立．
8．(1)
(2)单调递增区间是和，单调递减区间是
(3)极大值为，极小值为
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间；
（3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值.
【详解】（1）由函数，得，所以