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2025北京高二（上）期末数学汇编
空间向量与立体几何章节综合（填空题）
一、填空题
1．（2025北京密云高二上期末）如图，在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为．
??
2．（2025北京海淀高二上期末）已知向量，，且，则实数，=.
3．（2025北京五中高二上期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为，线段长度的最小值为．
??
4．（2025北京101中高二上期末）已知向量，且，则实数，．
5．（2025北京石景山高二上期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是.
6．（2025北京丰台高二上期末）已知平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，若，则.
7．（2025北京丰台高二上期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别是的中点，则.
8．（2025北京怀柔高二上期末）边长为1的正方体中，，，分别为，，的中点，为正方体内的一个动点（包含边界），且满足，则下列选项中所有正确结论的序号是.
①线段与无交点；
②平面截正方体所得到的截面图形面积为；
③直线与平面所成角为；
④在平面上存在点，使得平面.
9．（2025北京房山高二上期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为．
10．（2025北京北师大附中高二上期末）在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为.
11．（2025北京东城高二上期末）已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为．
12．（2025北京朝阳高二上期末）在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论：
①；
②为定值；
③存在点，使得平面平面；
④存在点，使得点到平面的距离为2.
其中所有正确结论的序号是.
13．（2025北京朝阳高二上期末）已知空间向量，则.
参考答案
1．
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值.
【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
??
则，
所以，
则,
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
2．
【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可.
【详解】，则，解得.
则，，.
.
故答案为：；13.
3．抛物线
【分析】根据抛物线的定义得出点轨迹，建立空间直角坐标系后由空间两点间距离公式计算．
【详解】因为平面平面，平面平面，而平面，
所以到直线的距离就是到平面的距离，
由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴），
，，，
点的轨迹方程是，
，
所以时，，
故答案为：抛物线；．
??
4．
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，求出的值，从而求出的坐标，再利用坐标法求模.
【详解】因为，且，
所以，解得，则，
所以，
所以.
故答案为：；
5．
【分析】利用中点坐标公式求解即可.
【详解】因为，，
所以由中点坐标公式得线段的中点坐标是，
化简得中点坐标为.
故答案为：
6．/
【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解．
【详解】根据题意，若，则，又，，
所以，解得，所以.
故答案为：.
7．
【分析】利用，两边平方可求得.
【详解】因为四面体是棱长为2的正四面体，所以，
，
所以，
两边平方可得
，
所以.
故答案为：.
8．①②
【分析】求点到直线的距离，结合，判断命题①；设分别为的中点，证明共面，再求六边形面积判断命题②；建立空间直角坐标系，证明为平面的一个法向量，利用向量方法求直线与平面所成角，取特殊点判断命题③错误；假设存在点满足条件，结合条件推出矛盾，判断命题④，由此可得结论.
【详解】由已知，，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，，，
设为的中点，连接，则，，
所以点到直线的距离为，又，
所以线段与无交点，①正确；
设分别为的中点，连接，，，，，
因为，，
所以，所以四点共面，
所以点平面，
因为，
所以，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
所以共面，
又
所以平面截正方体所得到的截面图形为正六边形，且边长为，
所以面截正方体所得到的截面图形面积为，②正确；
以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，