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2025北京高二（上）期末数学汇编
计数原理章节综合
一、单选题
1．（2025北京西城高二上期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（???）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2025北京昌平高二上期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（???）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（2025北京昌平高二上期末）在的展开式中，的系数为（???）
A． B． C． D．
4．（2025北京大兴高二上期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（????）
A． B．
C． D．
5．（2025北京大兴高二上期末）在的展开式中，常数项为（????）
A． B．
C． D．
6．（2025北京五中高二上期末）若且，则实数的值为（????）
A．1 B． C． D．1或
7．（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）在的展开式中，常数项为（????）
A．60 B．15 C． D．
8．（2025北京西城高二上期末）的展开式中的系数为（???）
A． B． C． D．
9．（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（????）
A． B． C． D．
10．（2025北京四中高二上期末）甲?乙?丙?丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为
A．24 B．12 C．8 D．6
11．（2025北京五中高二上期末）某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时
参加，则不同的邀请方法有
A．84种 B．98种 C．112种 D．140种
二、填空题
12．（2025北京西城高二上期末）已知，则.
13．（2025北京平谷高二上期末）将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为.
14．（2025北京八中高二上期末）若，则.
15．（2025北京大兴高二上期末）若，则．
16．（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）设，则.
17．（2025北京五中高二上期末）若展开式的各项系数之和为32，则，其展开式中的常数项为．（用数字作答）
三、解答题
18．（2025北京西城高二上期末）某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜.
(1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
(2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值.
19．（2025北京昌平高二上期末）设，求：
(1)；
(2)；
(3).
20．（2025北京大兴高二上期末）已知的展开式中各二项式系数的和为．
(1)求的值；
(2)求该展开式中所有项的系数和．
21．（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．
(1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
(2)从6名中选出3人参加某公益活动．
（i）共有多少种不同的选择方法？
（ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
参考答案
1．C
【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解；
【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123，
对于3个2的排列只有1个；
对于1，1，4的排列有个，
对于1，2，3的排列有个，
所以这样的三位数有10个，
故选：C
2．C
【分析】利用插空法可得.
【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种，
故选：C
3．A
【分析】由展开式的通项可得.
【详解】的展开式通项为，
当，即时，得，系数是，
故选：A
4．C
【分析】直接根据分步乘法计数原理运算求解即可.
【详解】因为百位不为0，有9个数字可选，
则十位有9个数字可选，
个位有8个数字可选，
所以可以组成个没有重复数字的三位数.
故选：C.
5．B
【分析】根据二项式写出展开式通项，进而确定常数项即可.
【详解】由题设，展开式通项为，，
令，则常数项.
故选：B
6．D
【分析】根据二项展开式可求得常数项，再利用赋值法即可求得参数的值.
【详解】由二项式定理可知，常数项；
令，得，
又因为，
所以，
可得或.
故选：D.
7．A
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项.
【详解】二项式的展开式的通项为，
由，得，所