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2025北京高二（上）期末数学汇编
等差数列
一、单选题
1．（2025北京密云高二上期末）已知等差数列，若，则（????）
A． B．
C． D．
2．（2025北京八中高二上期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（????）
A．32 B．48 C．64 D．128
3．（2025北京丰台高二上期末）在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线l上，是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推（其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线）.由上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（????）
A． B． C． D．
4．（2025北京怀柔高二上期末）已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（????）
①若，则数列的前项和；
②若，数列的前项和为，则是递增数列；
③若数列是递增数列，则.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．（2025北京东城高二上期末）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（???）
A． B． C． D．
6．（2025北京朝阳高二上期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．（2025北京怀柔高二上期末）已知等差数列的前项和为，若，，则；的最小值为.
8．（2025北京朝阳高二上期末）某校计划新建一个容纳个座位的阶梯教室，若设置排座位，且从第二排起每一排都比前一排多个座位，则第一排需设置的座位数为.
9．（2025北京八中高二上期末）等差数列的前项和为，，，则
三、解答题
10．（2025北京东城高二上期末）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？
11．（2025北京丰台高二上期末）已知数列是等差数列，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.
12．（2025北京丰台高二上期末）已知无穷数列各项均为正数，且.
(1)请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
(2)当时，证明：；
(3)记数列的前项和为，若，证明：.
参考答案
1．C
【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质可知，
，
故选：C.
2．D
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，，则，
根据等差中项的性质，，所以.
故选：D.
3．C
【分析】第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，据此计算即可求曲线H长度的最小值.
【详解】由题意可知，第个劣弧的半径为，圆心角为，
第一次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点（不包括起点），
同理第二次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，
以此类推，每一轮以次以，，为圆心圆弧时，与直线l恰好有2个交点，
上述圆弧组成的曲线H与直线l恰有9个交点时，要使曲线H长度的最小，则刚好转四轮，
所以曲线H长度的最小值为.
故选：C.
4．A
【分析】利用裂项相消法求和判断①；根据判断②；根据，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断③.
【详解】对于①：当时，，则，
所以，故①正确；
对于②：当时，，
则，所以单调递增，
又，所以是递增数列，故②正确；
对于③：若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，即，故③错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：若数列是单调递增数列，则，再参变分离，求出参数的取值范围，反之，若判断的单调性，只需作差得到即可.
5．B
【分析】根据等差数列的性质可得，，利用可得结果.
【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，
由题意得，，，
∴，，故，，
∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是.
故选：B.
6．B
【分析】根据等差数列的性质，由，得，不能判断的正负，所以不能判断,的大小，故